Antiderivada de $e^x/(1+2e^x)$

Question

Sé que la solución es $$\dfrac{\ln\left(2\mathrm{e}^x+1\right)}{2}+C$$ Sin embargo, el resultado que obtuve fue $$\dfrac{\ln\left(\mathrm{e}^x+0.5\right)}{2}+C$$ Lo que hice fue:

$$ \begin{align} \int \frac {e^x}{1+2e^x}dx &= \int \frac {e^x}{2*(0.5+e^x)}dx \\ &= 0.5 \cdot \int \frac{e^x}{0.5 + e^x} dx \\ &= 0.5 \cdot (\ln|0.5 + e^x| + C). \end{align}$$

Sé que hay calculadoras de antiderivadas en Internet que muestran el método correcto paso a paso, pero no consigo entender qué he hecho mal. ¿Cuál es el error?

Answer 1

Estas respuestas son las mismas. A saber,

$$ \ln(2e^x + 1) = \ln(2(e^x + 0.5)) = \ln(2) + \ln(e^x + 0.5).$$

El añadido $\ln 2$ es absorbido por el $+ C$ y así vemos que las dos respuestas son iguales hasta una constante aditiva. No hay ningún error.

Answer 2

Dejemos que $C = \ln 2$ , una constante. Entonces son equivalentes.

Lo que has hecho es correcto; simplemente tienes un valor diferente de $C$ . Por ello, el " $+C$ ¡" es tan importante!

Answer 3

Puedes saber si tu respuesta es correcta diferenciándola y viendo lo que te devuelve. Sí, es cierto, $$ \frac{d}{dx}\left(\frac{\ln(e^x+0.5)}{2}\right) =\frac{1}{2}\frac{e^x}{e^x+0.5} =\frac{e^x}{2e^x+1}. $$ Así que tiene razón. Como señalan las otras respuestas, las dos respuestas son iguales hasta una constante.

Answer 4

Los demás han respondido a tu pregunta. Tenga en cuenta que uno se encuentra con esto a menudo también cuando se trata de funciones trigonométricas.Por ejemplo $\int sinx cosx dx= sin^2(x)/2 + C$ si se opta por hacer la sustitución $u= sinx$ y $\int sin(x)cosx dx= -cos^2(x)/2 + C$ , si uno elige $u=cosx$ . Ambas respuestas son correctas, ya que por supuesto su diferencia es una constante, ya que $sin^2(x)+cos^2(x) = 1.$