¿Hay un nombre para estas regiones producidas por 4 círculos que se intersectan? ¿Se pueden encontrar sus áreas sin cálculo?

Question

Comenzar con un cuadrado. Usando el lado de longitud como una radio, la construcción de cuatro círculos, centrado en cada vértice. Estos círculos de dividir el cuadrado en nueve regiones: cuatro de una forma, cuatro de otra forma, y un lugar único en el centro. ¿Tenemos un nombre para alguna de estas formas? Es posible calcular sus áreas sin utilizar el cálculo?

(Ya he calculado las áreas, utilizando el cálculo. La gran región central tiene área de $1+\frac{\pi}{3}-\sqrt3$, las cuatro regiones de compartir su borde, tienen cada área de $\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt3}{2}-1$, y los cuatro restantes regiones, a lo largo de los bordes de la plaza, cada uno tiene área de $1-\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt3}{4}$, si yo no cometer errores.)

Answer 1

No estoy seguro acerca de los nombres de estas regiones, pero podemos encontrar las áreas de cada uno usando nada más que la trigonometría.

Deje que el cuadrado tiene lados de longitud $1$. Vamos a la región que comparte un lado con el cuadrado tiene área de $a$, la otra región que aparece cuatro veces tienen área $b$ y el único de la región central que tiene el área de $c$. Nos gustaría encontrar tres linealmente independientes de las ecuaciones que relacionan estas variables.

Dos son fáciles de encontrar. La zona de la plaza de los rendimientos $$4a+4b+c=1.$$ Furthermore, exactly $1/4$ of the area of one of the circles is contained in the square, which gives us that $$2a+3b+c=\pi/4.$$

Para encontrar una tercera ecuación, considere dos de los círculos que están centradas en los vértices vecinos de la plaza. El área de la intersección de estos dos círculos se $\frac{2\pi}3-\frac{\sqrt{3}}2$ y esto se puede encontrar con la trigonometría. (Una buena explicación de cómo hacer esto en general se encuentra aquí: http://jwilson.coe.uga.edu/EMAT6680Su12/Carreras/EMAT6690/Essay2/essay2.html la Mitad de esta zona se encuentra dentro de nuestra plaza, lo que nos da nuestra tercera ecuación, $$a+2b+c= \frac{2\pi}6-\frac{\sqrt{3}}4.$$

En este punto, sólo tenemos que resolver el sistema. Tengo soluciones $$a=1-\sqrt{3}/4-\pi/6,$$ $$b=\sqrt{3}/2+\pi/12-1,$$ $$c=1+\pi/3-\sqrt{3}.$$

Answer 2

Aquí es relativamente directa. Construcción de la plaza y de inscribir los arcos circulares alrededor de los cuatro vértices, como se muestra a continuación.

Desde $\triangle ADE$ es equilátero y desde $\angle BAD$ es un ángulo recto, $\angle BAE = \frac\pi6$ ) y el área del sector circular con bordes $AB$ $AE$ $\frac\pi{12}.$ Asimismo, $\angle ADF = \frac\pi6,$ $\angle AEF = \frac\pi6,$ y, por tanto, $\triangle ADF \cong \triangle AEF \cong \triangle ABE$ y $DF = EF = BE$; otros nueve pares de puntos simétricos a estos pares también abarcan la misma distancia.

Desde $E$ está en la línea horizontal de simetría de la plaza, $\triangle ABE$ base $1$ y la altura de la $\frac12,$, por lo que su área es $\frac14.$ El área del segmento circular entre el segmento de línea $\overline{BE}$ y el arc $\overset{\frown}{BE}$ (la región sombreada en la figura) es, por tanto, $S = \frac\pi{12}-\frac14.$

Para obtener las áreas de las diversas regiones delimitadas por arcos circulares y/o los bordes de la plaza, podemos tomar el de las áreas de los ocho triángulos y la plaza que podríamos obtener al "enderezar los lados" de estas regiones, y añadir o restar una adecuada múltiples de la área de $S$ a representar la adición o eliminación de segmentos circulares en los bordes de estas cifras.

Para $\triangle ABH,$ la base es $1$ y la altura es de $1 - \frac{\sqrt3}2,$ de manera que el área del triángulo es $\frac12 - \frac{\sqrt3}4$ y la correspondiente región delimitada por la línea de $AB$ y los arcos $\overset{\frown}{AH}$ $\overset{\frown}{BH}$ área $$\frac12 - \frac{\sqrt3}4 - 2S = 1 - \frac{\sqrt3}4 - \frac\pi6. \tag1$$

La diagonal del cuadrado $EFGH$ es $1 - 2\left(1 - \frac{\sqrt3}2\right) = \sqrt3 - 1,$ de modo que el lado del cuadrado es $GH = \frac{\sqrt2}2(\sqrt3 - 1).$ El triángulo $\triangle AGH$ es por lo tanto equilátero con lado $\frac{\sqrt2}2(\sqrt3 - 1)$, por lo que su área es $$ \frac{\sqrt3}4\left(\frac{\sqrt2}2(\sqrt3 - 1)\right)^2 = \frac{\sqrt3}2 - \frac34 $$ y el área de la región delimitada por tres arcos es $$ \frac{\sqrt3}2 - \frac34 + S = \frac{\sqrt3}2 - 1 + \frac\pi{12}.\tag2 $$

El área de la región central, delimitado por cuatro arcos es el área de la plaza de $EFGH$ más de cuatro segmentos circulares, es decir, $$ \left(\frac{\sqrt2}2(\sqrt3 - 1)\right)^2 + 4S = (2 - \sqrt3) + \left(\frac\pi3 - 1\right) = 1 - \sqrt3 + \frac\pi3. \tag3 $$

Ecuaciones $(1),$ $(2),$ y $(3)$ confirmar los resultados encontrados previamente por otros métodos.