Encontrar la suma de infinitos términos de la serie $S=\frac{4}{5}+\frac{4.7}{5.8}+\frac{4.7.10}{5.8.11}+\cdots$

Question

Encontrar la suma en términos de infinito de la serie %#% $ #%

Mi intento:

tenemos %#% $ #%

ahora $$S=\frac{4}{5}+\frac{4.7}{5.8}+\frac{4.7.10}{5.8.11}+\cdots$ $ comparando así que tenemos

% $ $$1+S=1+\frac{4}{5}+\frac{4.7}{5.8}+\frac{4.7.10}{5.8.11}+\cdots$y

$$(1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)x^2}{2}+\cdots $$

resolución de $$nx=\frac{4}{5}$ y $$\frac{n(n-1)x^2}{2}=\frac{7}{10}$ obtenemos

$x$$n$$$n=\frac{-16}{19}$$

Por lo tanto

$ and $$

$x=\frac{-19}{20}$$

¿Esto está bien?

Answer 1

es divergente por la desigualdad de Gautschi y la prueba de p % $ $$S=\sum_{n\geq 1}\prod_{k=1}^{n}\frac{3k+1}{3k+2}=\sum_{n\geq 1}\frac{2^{2/3} \,\Gamma\left(\tfrac{5}{6}\right)\, \Gamma\left(\tfrac{4}{3}+n\right)}{\sqrt{\pi}\,\Gamma\left(\tfrac{5}{3}+n\right)} $: el término principal de esa serie se comporta como $\frac{C}{n^{1/3}}$.