Demuestre que$7^{100} - 3^{100}$ es divisible por$1000$

Question

Demostrar que $7^{100} - 3^{100}$ es divisible por $1000$

Equivalente, queremos mostrar que %#% $ #%

Utilicé WolframAlpha (no estoy seguro si ese es el derecho manera aunque) y encontrado que $$7^{100} = 3^{100} \pmod {1000}$.

Así que por el teorema de Euler: $\varphi (250) = 100$ $

pero por supuesto, queremos $$7^{100} \equiv 7^{\varphi(250)} \equiv 1 \pmod {250} \\ 3^{100} \equiv 3^{\varphi(250)} \equiv 1 \pmod {250}$.

¿Que es lo que yo estoy destinado en este ejercicio (cómo proceder en caso afirmativo)? ¿Hay una solución sin necesidad de usar WolframAlpha?

¡Gracias!

Answer 1

A Wolfie no es la manera correcta.

Por el Teorema chino del resto, todo lo que necesitas es probar $$7^{100}\equiv3^{100}\pmod8$ $ y $$7^{100}\equiv3^{100}\pmod{125}.$ $ que ya has hecho el último. $7^2\equiv1\pmod 8$ Y $3^2\equiv1\pmod 8$ por lo que es una feria apuestan que $7 ^ {100} \equiv3^ {100} \pmod8$ demasiado.

Answer 2

\begin{eqnarray} 7^{100}-3^{100} &=& (10-3)^{100}-3^{100}\\ &=& \underbrace{{100\choose 0}10^{100}-{100\choose 1}10^{99}\cdot 3+...-{100\choose 97}10^3 \cdot 3^{97}}_{10^3k}+{100\choose 98}10^2 \cdot 3^{98} -{100\choose 99}10 \cdot 3^{99}+3^{100}-3^{100}\\ &=&1000k +50\cdot 99\cdot10^2 \cdot 3^{98} -100\cdot 10 \cdot 3^{99} \end{eqnarray}

Answer 3

Por el teorema del binomio, $$ 3 ^ {100} =(7-10) ^ {100} = 7 ^ \binom {100} {100} {1} 7 ^ {99} 10 + \binom {100} {2} 7 ^ {98} 10 ^ 2 + 10 ^ 3a $$ ahora $ \binom{100}{1}10=1000 $ y $ \binom{100}{2}10^2 = 495000 $

Answer 4

No estoy seguro sobre el siguiente método, que es bastante inusual. Si esto no funciona, por favor, comentar por qué. También, puesto que este es, probablemente, demasiado largo para un comentario, me lo he publicado aquí.

En primer lugar, podemos factor de la expresión por la diferencia de dos cuadrados: $$7^{100}-3^{100}=(7^{50}-3^{50})(7^{50}+3^{50})=(7^{25}-3^{25})(7^{25}+3^{25})(7^{50}-3^{50})$$ Vamos a concentrarnos en sólo los dos primeros factores y utilizar los hechos de que $7^5=16807$ termina en $07$ y $3^5=243$ termina en $43$. Tenga en cuenta que $43^5 = 147008443$.

Ahora $7^{25}=(7^5)^5$, por el primer hecho de $7^5$ termina en $...807$. Del mismo modo, $3^{25}=(3^5)^5$, por lo que por el segundo hecho, $3^{25}$ termina en $...443$.

Por lo tanto $7^{25}-3^{25}$ termina en $64$ (desde $807-443=364$) y $7^{25}+3^{25}$ termina en $250$ (desde $807+443=1250$). El resultado sigue desde $1000$ divide $64 \times 250$.

Answer 5

Utilizando http://mathworld.wolfram.com/CarmichaelFunction.html,

$\lambda(1000)=\cdots=100$

$\implies a^{100}\equiv1\pmod{1000}$ $(a,1000)=1\iff(a,10)=1$