Encontrar todos los números primos $p$ tal que $16p+1$ es un cubo perfecto

Question

Lo he intentado:

Supongamos que $16p+1=k^3$ donde $k \in Z$ y $16p=k^3-1=(k-1)(k^2+k+1)$ así que podemos decir que $k=17$ y $p=17^3+17+1=4931$ que es primo.

¿Cómo puedo encontrar los números restantes?

Answer 1

Tenido %#% $ #%

Porque es curioso $$16p=k^3-1=(k-1)(k^2+k+1)$, $k$ está incluso y $k-1$ es impar. Si es impar $k^2+k+1$, $k^2+k+1$ debe ser un múltiplo de $k-1$. Pero $16$a ser un múltiplo de $k-1$ diferente $16$ %, $16$ tendría que no ser un primo. Por lo tanto, $p$ y $k-1 = 16$.

Eso significa que el $k = 17$ debe ser nuestro primer. Así que conecte en $k^2+k+1$ $k=17$ $ a

Answer 2

Desde $k^3\equiv1\pmod{16}\implies k\equiv1\pmod{16}$, si $16p+1$ es un cubo perfecto, debemos tener $$\begin{align} 16p+1 &=(16k+1)^3\\ &=4096k^3+3\cdot256k^2+3\cdot16k+1 \end {Alinee el} $$ por lo tanto, obtenemos el $p=256k^3+48k^2+3k=(256k^2+48k+3)k$, que sólo puede ser primer si $k=1$, $p=307$ y por lo tanto $$ 17 ^ 3 = 16\cdot307 +1 $$ es el único caso.

Answer 3

Ya que $k^2+k+1$ siempre es impar es necesario que $16|k-1$.