Refiriéndose a la Wikipedia tenemos que la ecuación de movimiento para un $f(q, p, t)$ proviene de la fórmula \begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f(p, q, t) = \frac{\partial f}{\partial q} \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} + \frac {\partial f}{\partial p} \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} + \frac{\partial f}{\partial t} \tag{1} \end{equation} que es, de la onu, la notación de corchetes de Poisson $$ \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f(p, q, t) = \{f, H\} + \frac{\partial f}{\partial t} \etiqueta{2} $$ Ahora, muchos libros dicen que si queremos obtener las ecuaciones de Hamilton a partir de aquí sólo hay que sustituir, respectivamente, para la primera y de la segunda ecuación de ($k= 1, \dots, 2\cdot3N$ ecuaciones en realidad, para un sistema con $N$ de las partículas y $3$ grados de libertad) $f(q, p, t) = q(t)$$f(q, p, t) = p(t)$. Así que usted debe obtener las dos ecuaciones: $$ \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} q = \{p, H\} + \frac{\partial q}{\partial t}\etiqueta{3} $$ y $$ \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} p = \{p, H\} + \frac{\partial p}{\partial t}\etiqueta{4} $$ Así, con el fin de volver a las ecuaciones de Hamilton debemos tener $$\frac{\partial p}{\partial t} = \frac{\partial q}{\partial t} = 0,\tag{5}$$ but why it is so? Why the partial time derivative is zero, if $q$ and $p$ son función del tiempo?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La confusión se deriva de un poco de matemática descuido. Es necesario útiles descuido, porque, como veremos en un momento, el pleno de la maquinaria es un dolor, pero es útil para ver y tener en la parte de atrás de tu mente cuando confusiones como esta surgir.
El Espacio De Fase De Las Trayectorias
No voy a ir a través de los problemas de la construcción de la cotangente del paquete para el espacio de configuración y todo ese lío - podemos partir de la idea intuitiva de que el espacio de fase $\Omega$. Un punto de $x\in\Omega$ pueden ser marcadas por la posición correspondiente $q$ e ímpetu $p$ ( $x\equiv(q_x,p_x)$ ). Es importante tener en cuenta que el $q$ $p$ no son funciones del tiempo o cualquier otra cosa - no son más que números que la etiqueta de un lugar determinado en el espacio de fase.
A partir de aquí, consideramos que la noción de una trayectoria a través del espacio de fase. Una trayectoria de $\gamma$ es un mapa continuo que toma un número real (el tiempo) y la asigna a un punto en el espacio de fase:
$$\gamma:\mathbb{R} \rightarrow \Omega$$ $$t \mapsto \gamma(t)$$
Si nos alimentamos $\gamma$ un tiempo, nos dice la ubicación del sistema en el espacio de fase. A medida que avanzamos en el tiempo, la trayectoria nos dice cómo el estado del sistema evoluciona.
Dinámica De Las Variables
Una dinámica variable $F$ toma un punto en el espacio de fase y un valor de tiempo y los asigna a un número real: $$F :\Omega\times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ $$(q,p,t) \mapsto F(q,p,t)$$
Siguiente presentamos la proyección de las funciones de $\mathcal{Q}$$\mathcal{P}$, que el mapa de un punto particular en el espacio de fase a los correspondientes valores de$q$$p$. $$\mathcal{Q}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} $$ $$x\mapsto \mathcal{Q}(x)\equiv\mathcal{Q}\big((q_x,p_x)\big) = q_x$$ y $$\mathcal{P}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} $$ $$x \mapsto \mathcal{P}(x)\equiv\mathcal{P}\big((q_x,p_x)\big) = p_x$$
Esencialmente, $\mathcal{Q}$ sólo toma un punto en el espacio de fase y le dice que la coordenada de posición, ignorando el impulso, mientras que $\mathcal{P}$ toma un punto en el espacio de fase y le dice el impulso ignorando la coordenada de posición. Observe que estas dos funciones son ejemplos concretos de tiempo independiente de la dinámica de las variables, en el sentido de que $\frac{\partial \mathcal{P}}{\partial t} = \frac{\partial \mathcal{Q}}{\partial t}=0$.
Dinámica De Las Variables A Lo Largo De La Fase De Trayectorias Espaciales
Ahora podemos combinar estos dos conceptos. Dada una trayectoria de $\gamma$ y una dinámica variable $F$, se pueden combinar para formar un mapa de $F_\gamma$ que toma un único número real $t$ y devuelve el valor de $F$ tiempo $t$ a lo largo de $\gamma$:
$$F_\gamma : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ $$ t \mapsto F\big(\gamma(t),t\big)$$
Podemos aplicar esta definición a$\mathcal{Q}$$\mathcal{P}$. Observe que $$\mathcal{Q}_\gamma : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ $$ t \mapsto \mathcal{Q}\big(\gamma(t)\big)$$ por lo $\mathcal{Q}_\gamma(t)$ es la coordenada de posición del sistema en el tiempo $t$, mientras que $\mathcal{P}_\gamma(t)$ es el impulso de coordenadas del sistema en el tiempo $t$.
Observe que para una determinada dinámica de la variable $F$, también podemos escribir que $$F_\gamma(t) = F\big(\gamma(t),t\big) = F\big(\mathcal{Q}_\gamma(t),\mathcal{P}_\gamma(t),t\big)$$
Total De Productos Derivados
Debido a que este tipo de mapas son funciones de una sola variable, que tiene sentido tomar un total derivada con respecto al tiempo. Este es el total de la tasa de cambio de $F$ a lo largo de la trayectoria de $\gamma$:
$$\frac{dF_\gamma}{dt} \equiv \frac{\partial F}{\partial q}\frac{d\mathcal{Q}_\gamma}{dt} + \frac{\partial F}{\partial p}\frac{d\mathcal{P}_\gamma}{dt} + \frac{\partial F}{\partial t}$$
Las Ecuaciones de Hamilton
Hamilton ecuaciones son las ecuaciones diferenciales que rigen el espacio de fase de trayectorias. Sin profundizar en su derivación, nos dicen que $$ \frac{d\gamma}{dt} \equiv \left(\frac{d\mathcal{Q}_\gamma}{dt},\frac{d\mathcal{P}_\gamma}{dt}\right) = \left(\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial p},-\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial q}\right)$$ donde $\mathcal{H}$ es el de Hamilton, sin embargo, otra dinámico de la variable.
Una vez que el Hamiltoniano $$\mathcal{H}:\Omega \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ $$(q,p,t) \mapsto \mathcal{H}(q,p,t)$$ ha sido escrito, entonces todo lo posible el espacio de fase de las trayectorias se han determinado.
Corchete De Poisson
El uso de las ecuaciones de Hamilton, podemos reescribir el total derivado de la siguiente manera: $$ \frac{dF_\gamma}{dt} = \frac{\partial F}{\partial q}\frac{d\mathcal{Q}_\gamma}{dt} + \frac{\partial F}{\partial p}\frac{d\mathcal{P}_\gamma}{dt} + \frac{\partial F}{\partial t} = \left(\frac{\partial F}{\partial q}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p} - \frac{\partial F}{\partial p}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q}\right) + \frac{\partial F}{\partial t}$$
Esto motiva la definición de la distribución de Poisson soporte de dos dinámicas de las variables: $$ \{A,B\} \equiv \frac{\partial A}{\partial q}\frac{\partial B}{\partial p} - \frac{\partial A}{\partial p} \frac{\partial B}{\partial q}$$
punto en el cual podemos reescribir el total derivado de la fórmula por última vez:
$$\frac{dF_\gamma}{dt} = \{F,H\} + \frac{\partial F}{\partial t}$$
Todo hecho! Observe que el lado derecho no hace mención de la trayectoria de $\gamma$, por una buena razón - una vez que especificar el Hamiltoniano y nuestra ubicación en el espacio de fase, entonces no hay libertad a la izquierda en la evolución del sistema (y por lo tanto no hay libertad a la izquierda en la evolución de cualquier dinámico de la variable).
El Remate
Ahora estamos equipados para responder a su pregunta. Considere la función $\mathcal{Q}$ (la función que toma un espacio de fases punto de $(q,p)$ y devuelve su posición de coordinar $q$), así como la función asociada $\mathcal{Q}_\gamma$, que está asociada a un espacio de fase de la trayectoria. Tenemos que
$$\mathcal{Q}(q,p,t) = q$$ así $$\frac{\partial \mathcal{Q}}{\partial q} = 1$$ $$\frac{\partial \mathcal{Q}}{\partial p} = 0$$ $$\frac{\partial \mathcal{Q}}{\partial t} = 0$$
y por lo tanto
$$\frac{d\mathcal{Q}_\gamma}{dt} = \{\mathcal{Q},\mathcal{H}\}+\frac{\partial \mathcal{Q}}{\partial t}$$ $$ = \left(\frac{\partial \mathcal{Q}}{\partial q}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p} - \frac{\partial \mathcal{Q}}{\partial p}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q}\right) + \frac{\partial \mathcal{Q}}{\partial t} $$ $$= \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p}$$
y del mismo modo, $$\frac{d\mathcal{P}_\gamma}{dt} = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q}$$
Así que ahí lo tienen. Cuando escribimos todo en insoportable detalle, no hay ambigüedad alguna. $q$ $p$ son números, no funciones, por lo que los diferencia es insignificante. Cuando hacemos la física, lo que somos en realidad differentating son la proyección de las funciones de $\mathcal{Q}$$\mathcal{P}$, así como sus funciones asociadas que están conectados a el espacio de fase de la trayectoria de $\gamma$ a lo largo de la cual el sistema evoluciona. De nuevo, es crucial notar que $\mathcal{Q}$ $\mathcal{Q}_\gamma$ están asociados unos con otros, pero no la misma cosa.
Por supuesto, cuando hago la física, no escribo todo esto - me diferenciar $q$ $p$ como todos los demás. Pero es útil ser capaz de enmarcar los problemas, en este contexto, cuando esos pequeños puntos de confusión surgir.
El "parcial" de tiempo derivado $\frac{\partial}{\partial t}$ significa, en este contexto, un explícito tiempo de la diferenciación. Una función $$(q,p,t)~\mapsto~ f(q,p,t)$$ of phase space and time is said to have an explicit time dependence through its last argument $t$ and an implicit time dependence through the phase space variables $p^i$ and $p_j$. The total time derivative $df/dt$ es el dado por OP eq. (1).
Breve explicación: Para hacer OP eq. (1) también funcionan para el espacio de fase variables $$f(q,p,t)=q^i\quad\text{and}\quad f(q,p,t)=p_j$$ a sí mismos, es natural (y en la práctica útil) para pragmáticamente declarar que dependen, por definición, sólo implícitamente en el tiempo.
Más explicación: tenga en cuenta que los físicos (a diferencia de los matemáticos) a menudo se utiliza la misma notación para una función y su valor en un punto. Por lo tanto, es posible que a veces se hace difícil saber la lista de argumentos de una función. En el presente caso, la noción de espacio de fase variables $q^i$ $p_j$ puede tener diferentes lista de argumentos $$q^i(q,p,t)=q^i\quad\text{and}\quad p_j(q,p,t)=p_j$$ frente a $$t~\mapsto~ q^i(t)\quad\text{and}\quad t~\mapsto~ p_j(t)$$ dependiendo del contexto. Implícito y explícito de la dependencia, en sentido estricto, sólo se definen en el caso anterior.
Ver también este Phys.SE post y los enlaces en el mismo.
No estoy de acuerdo con la última parte de la respuesta por Qmechanic. Desde un punto de vista matemático, el espacio de fase variables dependen explícitamente en el tiempo, como el tiempo (como un parámetro para curvas en el espacio de fase) es su único funcional de la variable. Si que hemos tenido, vamos a decir $q^{i} (t) = q^{i} (z(t))$, entonces sí, la dependencia del tiempo habría sido implícito (es decir, a través de otra función $z(t)$).
Volviendo a la pregunta del OP. Las funciones de $q^i (t)$ $p_i (t)$ tiene sólo una variable independiente, es decir, el tiempo de $t$. La ecuación de movimiento para un genérico observables en el espacio de fase $F (q,p,t)$ no se aplica a ellos, debido a la dependencia del tiempo de estas funciones $q$$p$, en comparación con el uno para el observable, NO es de manera implícita y explícita, sólo es explícito. Esto puede ser reformulado para decir que $q^i (q^i(t),p_i (t), t)$ no es válido F. no tiene sentido matemáticamente (de manera similar $p_i (q^i(t),p_i (t), t)$).
Una manera de ver, es que a través de su razonamiento que son, en cierto sentido, el tratamiento de las cantidades de interés en diferentes espacios matemáticos. Cierto, q y p son funciones de tiempo, pero ¿cómo se escribe el Hamiltoniano? El muy derivación de estas fórmulas se supone F y H son descritos como funciones de la posición y el momentum. Si desea describir p y p explícitamente como funciones de tiempo, usted debe hacer regularmente, de modo que usted sustituir aquellos explícita de las relaciones en H y F así. Cuando usted hace esto, usted va a terminar con funciones de t solo, de modo que las derivadas parciales de estas cantidades con respecto a q y p, y por lo tanto {F,H} son cero. El parcial y total de productos derivados de F será la misma cosa, de modo que el resultado final será con el trivial de ecuaciones
$\frac{dq}{dt}=\frac{dq}{dt}$ $\frac{dp}{dt}=\frac{dp}{dt}$,
que son verdaderas, por supuesto, pero el soporte de formalismo no va a ser muy útil si esa descripción se utiliza. Si, por otro lado, se describe el sistema a través de las variables q y p, entonces, por supuesto, q=q(p), p=p(p), no tienen tiempo explícito de la dependencia cuando se les ve de esa manera.
