EDIT: he hecho un pequeño cambio en la terminología basada en la propuesta por @inéquation en los comentarios de abajo.
Esta es una excelente pregunta!
La sutileza es que en el alto de matemáticas de la escuela se nos enseña a mover libremente entre polinomios y de funciones polinómicas. Pero si no hacemos la distinción entre los dos con cuidado, luego confusiones como en tu pregunta se va a surgir.
Cuando tengo la igualdad $$\frac{1/2}{4/x} = \frac{x}{8}$$ there is no problem when viewing this is an equality of rational fractions, because in this case, there is no question of evaluating $x$, y por lo tanto no es cuestión de lo que los dominios son, simplemente porque no son funciones.
Por otro lado, cuando miro a la igualdad $$\frac{1/2}{4/x} = \frac{x}{8}$$ as an equality of rational functions, then it is necessary that the domain of both functions are the same. Since the function on the left-hand side is defined for all $x \neq 0$, I can take that to be the domain of the function, and so the domain of the function on the right-hand side is also $\mathbb{R} \setminus \{0\}$.
Una explicación más detallada de esta distinción sigue a continuación.
¿Qué es un polinomio?
Normalmente, se imparte en el nivel de escuela secundaria que un polinomio (en una variable) es cualquier expresión de la forma $$a_0 + a_1 x + \dots + a_n x^n$$ where $a_0,\dots,a_n$ are real numbers, and $n$ is a non-negative integer. We can denote this polynomial by $f(x)$. Here, $$ x se llama variable o indeterminada.
Al mismo tiempo, también se nos enseñó que podemos sustituir por un número real, decir $t$ $x$ a fin de evaluar el polinomio en $t$, y esto es representado por $f(t)$. Este es el punto donde la distinción entre polinomios y de funciones polinómicas.
¿Qué es una función polinómica?
Para nuestros propósitos, vamos a meter a las funciones de los números reales a los números reales. Definimos una función polinómica a ser una función de $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal de que no existen números reales $a_0,\dots,a_n$, de modo que $f(t) = a_0 + a_1 t + \dots + a_n t^n$ por cada $t \in \mathbb{R}$.
Cómo son polinomios y de funciones polinómicas de la misma?
A primera vista, pueden parecer no ser mucho de una diferencia entre polinomios y de funciones polinómicas, por la siguiente razón: dado un polinomio $f(x) = a_0 + a_1 x + \dots + a_n x^n$ I puede definir una función polinómica $\tilde{f} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ $\tilde{f}(t) = a_0 + a_1 t + \dots + a_n t^n$ por cada $t \in \mathbb{R}$. Y, dada una función polinómica $\tilde{g} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $\tilde{g}(t) = b_0 + b_1 t + \dots + b_m t^m$ por cada $t \in \mathbb{R}$, puedo definir un polinomio $g$$g(x) = b_0 + b_1 x + \dots + b_m x^m$. Este ida y vuelta entre polinomios y de funciones polinómicas es compatible en el sentido de que el mapa de $F$ desde el espacio de polinomios ($\mathbb{R}$ en una variable) en el espacio de las funciones polinómicas (de$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$) que envía el polinomio $f$ a la función polinómica $\tilde{f}$ por la regla anterior, se conserva la estructura de ambos espacios. Más precisamente, en que satisface las condiciones:
$$
\begin{gather*}
f + g \mapsto \tilde{f} + \tilde{g}\\
cf \mapsto c\tilde{f}\\
fg \mapsto \tilde{f} \tilde{g}\\
1 \mapsto \operatorname{id}
\end{reunir*}
$$
donde $\operatorname{id}$ es la función constante $\operatorname{id}(t) = 1$ todos los $t \in \mathbb{R}$. (Como un aparte, todo esto se suele expresar diciendo que el mapa de $F$ $F(f) = \tilde{f}$ es un isomorfismo de álgebras.)
El hecho de que la función de $F$ tiene estas propiedades esencialmente significa que los polinomios y de funciones polinómicas no son tan diferentes.
Cómo son polinomios y de funciones polinómicas diferentes?
A pesar de la sección anterior, es importante hacer una distinción entre polinomios y de funciones polinómicas por la siguiente razón. Cuando nos dividir un polinomio $f(x)$ por otro polinomio $g(x)$ obtenemos la fracción racional $f(x)/g(x)$. (Por supuesto, $g(x)$ podría dividir a $f(x)$ sin dejar un resto, en cuyo caso $f(x)/g(x)$ es de hecho un polinomio, por lo que cada polinomio puede ser considerado también una fracción racional.) Dos fracciones racionales $f_1(x)/g_1(x)$ $f_2(x)/g_2(x)$ se consideran iguales si, después de la cancelación de sus factores comunes, nos encontramos con la misma expresión en ambos casos. O, equivalentemente, las dos fracciones racionales se consideran iguales si $f_1(x) g_2(x) = f_2(x) g_1(x)$. Tenga en cuenta que esto es completamente análoga a las definiciones que hacer cuando se habla de números racionales.
Tenga en cuenta que una fracción racional no es una función (ya que los polinomios no son "realmente" funciones). Sin embargo, podemos definir una función racional $h$ a ser una función que existen números reales $a_0,\dots,a_n$$b_0,\dots,b_m$, de modo que para cada $t$ en el dominio de $h$, $$h(t) = \frac{a_0 + a_1 t + \dots + a_n t^n}{b_0 + b_1 t + \dots b_m t^m}.$$
Claramente, puedo repetir el mismo proceso que los anteriores: a cada fracción racional me puede asociar una función racional, y para cada función racional puedo asociar a una fracción racional, en la forma obvia. Así que, ¿de dónde viene el problema?
El problema surge en el hecho de que dos representaciones diferentes de la misma fracción racional puede dar lugar a dos diferentes funciones racionales. Por ejemplo, vamos a $f(x) = x^2 - 4$, $g(x) = x-2$, $h(x) = x+2$ y $k(x) = 1$. Claramente, $f(x)/g(x) = h(x)/k(x)$. Sin embargo, la función de $u$ definido por $u(t) = f(t)/g(t)$ y la función de $v$ definido por $v(t) = h(t)/k(t)$ no son la misma función, debido a que sus dominios son diferentes! (Estoy suponiendo que todas las funciones tienen su dominio como el máximo establecido en los que están definidas. Así, el dominio de $u$ $\mathbb{R} \setminus \{ 2 \}$ y el dominio de $v$$\mathbb{R}$.)
Así que, digamos que empezamos con la función racional $v$. Construimos el 'natural' fracción racional el uso de $v$, es decir,$h(x)/k(x)$. Escribimos $h(x)/k(x) = f(x)/g(x)$. Luego construimos la función racional $u$ a partir de la fracción racional $f(x)/g(x)$. Pero nos encontramos con una función diferente! Así, la realidad es que la evaluación de los mapas', que básicamente consiste en " sustituir $x$ sobre el número real $t$', no es un "isomorfismo" entre el conjunto de todas las fracciones racionales y el conjunto de funciones racionales. Por lo tanto, no podemos avanzar y retroceder libremente entre las dos nociones, a menos que decidimos cómo queremos definir el mapa evaluación de la compatibilidad.
¿Cómo es que todo esto de responder a la pregunta?
Cuando tengo la igualdad $$\frac{1/2}{4/x} = \frac{x}{8},$$ this is certainly true when I view both sides as rational fractions. In this case, there is no question of evaluating $x$, y por lo tanto no es cuestión de lo que los dominios son, simplemente porque no son funciones.
Por otro lado, cuando miro a la igualdad $$\frac{1/2}{4/x} = \frac{x}{8}$$ as an equality of rational functions, then it is necessary that the domain of both functions are the same. Since the function on the left hand side is defined for all $x \neq 0$, I can take that to be the domain of the function, and so the domain of the function on the right-hand side is also $\mathbb{R} \setminus \{0\}$.
La pregunta, "¿por Qué soy capaz de hacer sentido de la mano derecha en $x = 0$ y no es capaz de dar sentido a la mano izquierda en $x = 0$?" surge porque esperamos que el mapa evaluación a ser "compatible", en algún sentido. Que esto no es así, es el contenido de la discusión anterior.
Lo he pasado por alto?
Yo, sin duda, han sido handwaving un poco cuando se habla de isomorphisms, pero esto puede ser totalmente precisos sin mucho problema. Todas estas ideas son discutidas en cualquier senior curso de licenciatura en álgebra.
También, como @AlexProvost se comenta más abajo, he definido una fracción racional para ser un cociente de polinomios, y sin embargo, yo estoy llamando $\frac{1/2}{4/x}$ una fracción racional, a pesar de $4/x$ no ser un polinomio. Aquí, he pasado por alto el hecho de que la división de una fracción racional por una fracción racional le da a uno una fracción racional. Esto puede ser mostrado con bastante facilidad, pero yo aún no había saltado este punto.
Explicación de la edición: Antes me había llamado 'fracciones racionales' como 'funciones racionales', y 'funciones racionales' como 'funciones racionales'. Creo que la nueva terminología es más limpio, y no estoy seguro de si hay una terminología estándar.
