Exhiben una cadena de los adjoints pasando por la diagonal

Question

Un problema en Leinster la Categoría Básica de la Teoría:

Revisión de un espacio topológico $X$, y escribir $\mathscr{O}(X)$ para el poset de abrir los subconjuntos de a $X$, ordenados por inclusión. Deje Que $$\Delta: \mathsf{Set} \[\mathscr{O}(X)^{\text{op}}, \mathsf{Set}]$$ ser el functor de asignar a un conjunto $A$ la presheaf $\Delta A$, con una constante valor $A$. Exhiben una cadena de adjoint functors $$\Lambda \dashv \Pi \dashv \Delta \dashv \Gamma \dashv \nabla.$$

$\Gamma$ debe ser la sección global functor (el límite de un diagrama de $F:\mathscr{O}(X)^{\text{op}} \to \mathsf{Set}$ es sólo $F(X)$, ya que el $\mathscr{O}(X)$ tiene un último elemento). $\Pi$ debe ser el colimit del diagrama de $F$$\mathsf{Set}$. (¿Por qué se denota por a $\Pi$? Porque es fundamental groupoid al $F$ es elegido correctamente?)

Estoy un poco atascado en los demás. Tal vez alguien puede aflojar la botella de ketchup para mí.

Answer 1

Para$∇$$\mathrm{Hom}(FX, Y) ≅ \mathrm{Hom}(F, ∇Y)$, y están tratando de averiguar lo $∇Y$ es. Una buena manera de hacerlo es con la sonda con otros objetos. Por ejemplo, mediante la elección de $F = Δ1$ obtener $(∇Y)X = Y$, que no es útil, pero ilustra el punto. Afortunadamente, hay una gran colección de sondas entre presheaves es exactamente el contenido de la Yoneda lema. Tomando $F = \mathrm{Hom}(-, U)$, se puede calcular inmediatamente $∇$: $$\mathrm{Hom}(Γ(\mathrm{Hom}(-, U)), Y) = \mathrm{Hom}(\mathrm{Hom}(X, U), Y) ≅ \mathrm{Hom}(\mathrm{Hom}(-, U), ∇Y) ≅ (∇Y)U,$$ donde el último isomorfismo es por el Yoneda lema. En otras palabras, $∇Y$ $Y$ en $X$, $1$ de lo contrario, debido a que $\mathrm{Hom}(X, U)$ es de singleton para $U = X$, y el vacío de otra manera.

Para $Λ$ tenemos $\mathrm{Hom}(ΛY, F) ≅ \mathrm{Hom}(Y, F∅)$. Desde $Λ$ es cocontinuous, y $\mathrm{Set}$ dispone de una propiedad de la que se compone de co-productos de $1$, basta calcular $Λ1$, pero de nuevo, esto podemos obtener fácilmente por Yoneda: $$\mathrm{Hom}(Λ1, F) ≅ \mathrm{Hom}(1, F∅) ≅ F∅ ≅ \mathrm{Hom}(\mathrm{Hom}(-, ∅), F),$$ para todos los $F$, lo $Λ1 ≅ \mathrm{Hom}(-, ∅)$. En otras palabras, $ΛY$$Y$$∅$, e $∅$ lo contrario.

Por supuesto, hay otra manera de encontrar estos functors: adivinanzas. $\mathrm{Hom}(FX, Y) ≅ \mathrm{Nat}(F, ∇Y)$ nos dice literalmente que estamos buscando una presheaf $∇Y$ tal que la administración de una transformación natural $F ⇒ ∇Y$ es la misma cosa como una función de $FX → Y$. Dado que todos los $α : F ⇒ ∇Y$ ya necesita un $α_X : FX → (∇Y)X$, establecimiento $(∇Y)X = Y$ parece inevitable, y el establecimiento $(∇Y)U$ a la terminal de objeto sin duda de la fuerza de la singularidad. Sólo tiene que comprobar que todo funciona. El razonamiento para $Λ$ es análogo.