¿Tiene el teorema del mapa abierto una versión local?

Question

Dejemos que $T:X\to Y$ sea una suryección lineal continua entre espacios de Banach $X$ y $Y$ . Por el teorema del mapa abierto, tenemos $T$ está abierto. Ahora dejemos que $C$ sea un subconjunto convexo cerrado de $X$ que satisfaga que $T(C)$ también está cerrado. ¿Tiene $T:C\to T(C)$ ¿está abierto?

Answer 1

Nota:

Esto no responde a la pregunta, porque he pasado por alto el supuesto de convexidad.

Ahora creo que la respuesta es negativa en el caso general, sin más condiciones sobre $C$ . He aquí un contraejemplo. Tomemos $X=\mathbb{R}^2$ , $X=\mathbb{R}$ y que $T$ sea la proyección sobre uno de los ejes, digamos $T(x,y)=x$ . Este mapa está abierto. Deja $C_1$ y $C_2$ sean triángulos cerrados, con vértices en $(2,2),(5,2),(5,5)$ y $(11,2),(8,2),(8,5)$ respectivamente, y $C_3$ ser la mitad de la franja

$$C_3 :=\{(x,y):5\leq x \leq 8, y \geq 2 \},$$ y definir $C =C_1 \cup C_2\cup C_3$ . Consideremos un abierto en la topología relativa de $T$ set $U$ que se encuentra "lo suficientemente alto", digamos

$$ U = \{(x,y):5\leq x \leq 8, 10 < y < 12 \} $$

Su proyección no es abierta en la topología relativa de $T(C)= [2;11]$ ya que $T(U)=[5;8]$ .

Aquí hay un dibujo visual.