Una cuestión básica en la teoría del tipo y Cotype

Question

Estoy estudiando básicos de la teoría del tipo y de la cotype de los espacios de banach, y tengo una simple pregunta. Estoy usando la definición utilizando los promedios. Todos los espacios de Banach de tipo 1, que era fácil de demostrar, utilizando el triángulo de la desigualdad. Pero estoy teniendo un tiempo difícil tratando de mostrar que todos los espacios de Banach que han cotype $\infty$.

Lo que estoy tratando de mostrar es que no existsc $C>0$ tal que, para cada $x_1, \dotsc, x_n$ en un espacio de Banach $X$, $$\left( \frac {{\displaystyle \sum\limits_{\varepsilon_i = \pm 1}} \lVert \sum^n_{i=1} \varepsilon_i x_i\rVert} {2^n} \right) \ge C \max_{1\le i \le n} \lVert x_i \rVert $$

¿Cómo se hace ? Se supone que esta es trivial, ya que la literatura sigue diciéndome que "es fácil ver".

Gracias !

Answer 1

El argumento es por inducción:

Es trivial para $n=1$. Para el caso de $n=2$ nota que tenemos, por la desigualdad de triángulo y el hecho de que $\|z\|=\|-z\|$,

$$ \| x-y \| + \|x+y\| \geq 2\max\{ \| x\|, \| s\|\}, $$ de modo que la desigualdad en este caso sigue con $C=1$. Para el caso general considere la posibilidad de un vector $\bar{\varepsilon}=(\varepsilon_2,\ldots,\varepsilon_n) \in \{0,1\}^{n-1}$ $\bar{x}=(x_2,\ldots,x_n)$ naturales y el producto escalar $$ \bar{\varepsilon}\cdot \bar{x}= \sum_{j=2}^n \varepsilon_ix_i\en X. $$ A continuación, el lado izquierdo de la deseada inquality ( $A$ ) puede escribirse como $$ A=\frac{\sum_{\bar{\varepsilon}} \sum_{\varepsilon_1=\pm1} \| \varepsilon_1x_1 + \bar{\varepsilon}\cdot \bar{x}\|}{2^n}. $$
Observe que, si $y=\bar{\varepsilon}\cdot \bar{x}$, entonces, el argumento de $n=2$, $$ \sum_{\varepsilon_1=\pm1} \| \varepsilon_1x_1+y\| \geq 2\max\{ \| x_1,\|,\|s\|\}, $$ así que, insertándose en la anterior desigualdad, y recordando la evidente desigualdad $\max\{ \sum_j a_j, \sum_jb_j\} \leq \sum_j \max\{ a_j,b_j\}$, obtenemos $$ A\geq \max\left\{ \| x_1,\|, \frac{\sum_{\bar{\varepsilon}} \| \bar{\varepsilon}\cdot \bar{x}\|}{2^{n-1}} \right\} \geq \max_{1\leq i\leq n} \| x_i\|. $$ Esto es lo que quieres, con $C=1$.