Demostrar continuo función $f$, $\int_0^1 xf (x) dx = \int_c^1 f (x) dx $

Question

Si f es función continua de verdadero valor en $[0,1]$ muestran que hay un $c\in (0,1)$ tal que $\int_0^1xf(x)dx = \int_c^1 f(x)dx $

He intentado aplicar el teorema del valor medio para integrales en ambos lados por separado para ver si vienen igual pero eso no funciona.

Answer 1

Definir $F(t) := \int_t^1 f(x)\, dx$. Entonces $\int_0^1 xf(x)\, dx = \int_0^1 F(x)\, dx$ por la integración por partes:

$$\int_0^1 xf(x)\, dx = \int_0^1 x(-F'(x))\, dx = -F(1) + \int_0^1 F(x)\, dx = \int_0^1 F(x)\, dx.$$

Por el teorema del valor medio para integrales, hay un $c$ $(0,1)$ tal que $\int_0^1 F(x)\, dt = F(c)$, es decir, $\int_0^1 xf(x)\, dx = \int_c^1 f(x)\, dx$.