Encontrar todas las funciones $f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ tal que $f$ es continua y $ f(f(x+y)) = f(x)+f(y)$

Question

Encontrar todas las funciones $f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ tal que $f$ es continua y $ f(f(x+y)) = f(x)+f(y)$

Mis pasos: inspección, $f(x)=x+c$ y $f(x)\equiv 0$ obras, mientras que $y=mx \,\,(m\neq1)$ y $y=mx+c\,\,(m\neq1)$ no.

Ajuste $x=y=0$ da $f(f(0))=2f(0)$

Lleva ajuste $y=-x$ $f(f(0)) = 2f(0) = f(x)+f(-x) \implies f(0) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}$

Sin embargo estoy atrapado aquí. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Sugerencia: Cuando $x+y=z+w$, tenemos $$f(x)+f(y)=f(f(x+y))=f(f(z+w))=f(z)+f(w).$$ Taking $g (x) = f (x)-f (0) $, see what you can deduce from this about $g$.

Una solución completa se oculta debajo.

Restando el $2f(0)$ de ambos lados de la ecuación anterior, tenemos también $$g(x)+g(y)=g(z)+g(w)$$ whenever $x+y=z+w$. We also have $g(0)=0$. So plugging in $w=0$ and $z=x+y$, we have $$g(x)+g(y)=g(x+y).$$ Since $g$ is continuous, this implies $g(x)=bx$ for some constant $b$. We thus have $f(x)=bx+c$ for constants $b$ and $c$. The functional equation then says $$b^2x+b^2y+bc+c=bx+by+2c$$ which implies $b^2=b$, so $b=0$ or $b=1$. If $b=0$, we then must have $c=0$ so $f(x) = 0 $. If $b = 1 $, we get $f (x) = x + c $ and this works for any $c$.