Dejemos que $\phi : \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ sea una función continua tal que siempre que $f_n \rightarrow f$ débilmente en $L^2[0,1]$ tenemos $\phi\circ f_n \rightarrow \phi\circ f$ débilmente en $L^2[0,1]$ . Estoy tratando de demostrar que $\phi$ debe ser un mapa afín, $\phi(x) = ax+b$ para algunos $a,b \in \mathbb R$ . Hasta ahora he intentado demostrar el contrapositivo, o tratar de demostrar que $\phi'$ existe y es constante, pero no han tenido éxito. ¿Alguna sugerencia?
Respuesta
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Supongamos que existe $t,s\in\mathbb R$ tal que $\phi((s+t)/2)\ne (\phi(s)+\phi(t))/2$ . Sea $f_n$ tomar los valores $s$ y $t$ de forma alternada: por ejemplo, $f_n=s$ en $[k/2^n,(k+1)/2^n)$ si $k$ es par, y $f_n=t$ si $k$ es impar. Observe que $f_n$ convergen débilmente a la función constante $(s+t)/2$ , mientras que $\phi\circ f_n$ convergen débilmente a la función constante $(\phi(s)+\phi(t))/2$ .
