Supongo que su origen fue el artículo de Wikipedia sobre la Adrs del teorema de que los estados, en la final
En 1965 Adrs más generalizado de su teorema de estado que si $f:M\rightarrow N$ $C^k$ $k\geq \max\{n-m+1, 1\}$ e si $A_r\subseteq M$ es el conjunto de puntos de $x\in M$ tal que $df_x$ tiene rango menor o igual a$r$, $f(A_r)$ ha dimensión de Hausdorff en la mayoría de las $r$.
Especializada a$m=n=1$$r=0$, podemos obtener la declaración de que el conjunto de valores críticos de una $C^1$ función de $f:\mathbb R\to\mathbb R$ ha dimensión de Hausdorff $0$. (Por cierto, parece extraño cuando escribe "en la mayoría de las $0$". La dimensión de Hausdorff nunca es negativo, incluso para el conjunto vacío, de acuerdo a su definición en común.)
La afirmación anterior es falsa. Aquí es un contraejemplo.
Deje $C$ ser el ternario conjunto de Cantor. Definir
$$f(x)=\int_0^x \operatorname{dist}(t,C)\,dt\tag1$$
donde, como de costumbre, $\operatorname{dist}(t,C)=\inf\{|t-y|:y\in C\}$. Usted puede visualizar la gráfica de la función $t\mapsto \operatorname{dist}(t,C)$ como una colección de derecho triángulos isósceles construido sobre las brechas de $C$ (además de algunos interesantes líneas a la izquierda y a la derecha del juego). Desde $t\mapsto \operatorname{dist}(t,C)$ es continua, $f\in C^1(\mathbb R)$.
Claramente, $f'(x)=0$ por cada $x\in C$. Yo reclamo que
$$ |f(x)-f(y)| \ge \frac{1}{36}|x-y|^2,\quad x,y\in C \tag2 $$
Suponiendo (2) por ahora, podemos ver que $f$ es inyectiva en a $C$, y que el inverso de mapa de $f^{-1}:f(C)\to C$ es Hölder continua con exponente $1/2$. Recordemos que $\alpha$-Hölder mapas no aumentar la dimensión de Hausdorff por más que el factor de $1/\alpha$. Por lo tanto, $\dim C\le 2\dim f(C)$; dicho de otro modo,
$$\dim f(C)\ge \frac12 \frac{\log2}{\log 3} \tag3$$
Queda por demostrar (2). Tomar $x,y\in C$, $x<y$. Deje $k$ ser el entero más pequeño para el cual existe una diferencia de tamaño de $3^{-k}$$x$$y$. A continuación, $x$ $y$ están en la misma componente de la $(k-1)$ generación de pre-conjuntos de Cantor. Por lo tanto $y-x\le 3^{1-k}$.
Recordando la forma triangular de la gráfica de $t\mapsto \operatorname{dist}(t,C)$ en cada hueco, nos encontramos con que el área del triángulo es $\frac14 3^{-2k}$. Por lo tanto,
$$
f(y)-f(x)=\int_x^y \operatorname{dist}(t,C)\,dt \ge \frac14 3^{-2k} \ge \frac{1}{36}(y-x)^2
$$
como se afirma en (2). $\quad \Box$
Es interesante señalar que el $f\notin C^2$ en este ejemplo. Para hacerla $C^2$ liso, yo tendría que reemplazar triángulos con algo más suave, y también de la escala de manera diferente en la dirección vertical. El resultado $C^2$ mapa satisfacer algo así como (2), pero con un poder diferente de $|x-y|$. Lo mismo va para las $C^k$ para todos finito $k$; el mayor $k$, el mayor exponente en (2), el más pequeño en el límite inferior (3). Pero el obligado todavía será positivo. Sólo para $C^\infty$ funciones de la contraejemplo desaparece.
Ahora estamos listos para apreciar el resultado real que Adrs demostrado en 1965, que fue malinterpretado en Wikipedia. Cito de la página 162 de Hausdorff Medida de la Crítica de Imágenes en Banach Colectores, teniendo en cuenta la fe de erratas. (Tristemente, ambos enlaces son paywalled.)
Definir la función de $c$ como sigue:
$$c(k,\rho )= \begin{cases} 1 &\text{ if }\ k<\rho, \\ 2+k(k-\rho)/\rho &\text{ if }\ 0<\rho\le k, \end{cases} \qquad k=0,1, \dots, \ \rho>0$$
Supongamos que $f$ $C^q$- mapa de una $C^q$-colector $M$ de la dimensión de $m <\infty$ con
contables base en un $C^q$-Banach colector $N$ donde $1 \le q \le\infty$. Deje $A_r$
denota el conjunto de puntos de $M$ de rango $\le r$, $r= 0,1, \dots,m $. Poner $k=m - r$.
Teorema 1. Supongamos que $\rho > 0$. A continuación, $f(A_r)$ $(r + \rho)$- null si
$$q \ge c(k, \rho).$$
En orden a la conclusión de $\dim f(A_0)=0$ para un mapa de $f:\mathbb R\to\mathbb R$, debemos ser capaces de utilizar arbitrariamente pequeño $\rho>0$ anterior, y esto requiere de $q=\infty$. En la página 169 de la Adrs hechizos esto como un corolario:
Corolario. Si $f$ $C^\infty$- mapa y, a continuación, $f(A_r)$ $(r+ \rho)$- null para todos los $\rho > O$.
y añade:
Este corolario, al menos en el caso en que $N$ es finito dimensional, es debido a Dubovickii [8].
De Hecho, А. Я. Дубовицкий publicado este resultado en 1962. Su papel es de libre acceso aquí.
