Tengo una pregunta sobre la representación de la topología del subespacio.
Dejemos que $(\Omega, \mathcal T)$ sea un espacio topológico, $\Omega' \subseteq \Omega$ y $\mathcal T' \subseteq \mathcal T$ la topología del subespacio con respecto a $\mathcal T$ . Entonces, por definición $$\mathcal T' = \{U\cap\Omega' \,|\, U\in \mathcal T\}.$$ Mi pregunta: ¿Es la siguiente representación igual a la primera? $$\mathcal T'= \{U\in \mathcal T \,|\,U\subseteq \Omega'\}$$
Respuestas
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La segunda definición no es correcta en general.
La topología del subespacio $\Omega '$ está compuesto por la intersección de los conjuntos abiertos de $\Omega$ con $\Omega'$ Por lo tanto, es posible que haya $U\in\mathcal T$ que no son subconjuntos de $\Omega'$ y que al mismo tiempo los necesitamos para definir la subtopología (los conjuntos abiertos) de $\Omega'$ .
Por ejemplo, tomemos el subespacio topológico de $\Bbb R$ definido por $A:=[0,1)\cup(2,3]$ . Entonces, a partir de los conjuntos abiertos $(-1,1)$ y $(2,4)$ de (la topología estándar de) $\Bbb R$ tenemos que
$$A\cap (-1,1)=[0,1),\quad A\cap (2,4)=(2,3]\tag{1}$$
Por lo tanto, $[0,1)$ y $(2,3]$ son conjuntos abiertos en el subespacio topológico $A$ (por su primera definición de subespacio topológico).
Pero si seguimos su segunda "definición" de subespacio topológico no podemos definir los conjuntos abiertos en $(1)$ porque está claro que $[0,1)$ y $(2,3]$ no son conjuntos abiertos en (la topología estándar de) $\Bbb R$ .
Daniel Schepler
Puntos
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No, para un contraejemplo, considere el espacio topológico $\Omega = \mathbb{R}$ con el orden habitual o topología métrica, y $\Omega' = [0,1]$ . Entonces $(1/2, 1]$ está en la topología del subespacio porque es igual a $(1/2, 3/2) \cap \Omega'$ Sin embargo, no está en $\mathcal{T}$ .
De hecho, en general, la única manera de que los dos conjuntos sean iguales es si $\Omega'$ está abierto en $\Omega$ ya que $\Omega \in \mathcal{T}$ implica $\Omega' = \Omega \cap \Omega' \in \mathcal{T}'$ . (Y en este caso es fácil mostrar su igualdad).
