Un subconjunto delimitado en $ \mathbb R^2$ que es "ningún lugar convexo"?

Question

Deje que $F : \mathbb S^1 \to \mathbb R^2$ representa una simple curva cerrada $C$ en $ \mathbb R^2$ . El teorema de la curva de Jordan dice que las curvas limitan un dominio interior $ \Omega $ y $ \partial \Omega = C$ . ¿Siempre tenemos dos puntos $a, b \in C$ de tal manera que el segmento de línea que se une $a$ y $b$ se encuentra completamente en $ \Omega $ ? Lo que es más, ¿podemos tener

"Para todos $ \epsilon >0$ hay dos puntos $a ,b \in C$ de tal manera que $|a- b| < \epsilon $ y el segmento de línea que se une $a$ y $b$ se encuentra completamente en $ \Omega $ ".

Parece que está relacionado con la forma en que el $C$ oscilar. Si $C$ es un tipo de curvas fractales, podría suceder que $C$ no es en ningún lugar convexo. ¿Y si asumimos que $F$ es de variación limitada?

Esta pregunta está relacionada con la siguiente:

La unicidad de la curva de la longitud mínima en una $X \subset \mathbb R^2$

Answer 1

No hay un subconjunto "no convexo en ninguna parte", y no se necesita una variación limitada.

Reclamar. Deje que $ \Omega \subset \mathbb R^n$ ser un conjunto abierto delimitado. Entonces por cada $ \epsilon >0$ existen dos puntos $a,b \in \partial \Omega $ de tal manera que $|a-b|< \epsilon $ y $\{(1-t)a+tb:0<t<1\} \subset \Omega $ .

Prueba. Deje que $r = \sup \{|x| : x \in { \Omega }\}$ . Por un pequeño $ \epsilon >0$ elige un punto $p \in \Omega $ con $|p|>r- \epsilon $ . Deje que $L$ ser una línea a través de $p$ en una dirección ortogonal al segmento de línea $[0,p]$ . La intersección $L \cap \Omega $ es un subconjunto abierto de $L$ . Desde $ \Omega\subset B_r = \{x: |x|< r\}$ el teorema de Pitágoras implica $$ \operatorname {diam}(L \cap \Omega ) \le \operatorname {diam}(L \cap B_r) = 2 \sqrt {r^2 - (r- \epsilon )^2} $$ que puede hacerse arbitrariamente pequeño. Cualquier componente conectado de $L \cap \Omega $ es un segmento de línea contenido en $ \Omega $ y con puntos finales $a,b \in \partial \Omega $ . $ \quad \Box $