Calcular el máximo tamaño del rectángulo en gráfico de sectores

Question

Estoy tratando de conseguir el máximo posible de anchura y altura de un rectángulo dentro de un gráfico circular. Todos los campos tienen el mismo ángulo. $\alpha$ nunca es más grande que el de $90^{\circ}$.

Me tienen las variables $\alpha$, $r$, $b$ y sé que $w = 3h$.

Estoy buscando $w$, $h$ y $P_1 (x_1, y_1)$.

Yo soy un programador, así que no soy tan bueno con las matemáticas y tengo que traducir este Código después. Gracias por su ayuda!

Editar:

Estoy usando Javascript. Gracias a Pablo. Él me explicó, que tengo que usar radianes en lugar de grado con Math.tan. Además, no hay ninguna Math.cot en Javascript. Por eso tuve que crear dos funciones más.

const tan = (deg) => Math.tan(deg * Math.PI / 180);
const cot = (value) => 1 / tan(value);

Answer 1

Aquí es una respuesta posible, basada en la verdad de mi comentario.

No hay manera para dibujar un cuadro ahora.

En la figura, que $z$ estar a la distancia desde el centro hasta el borde superior del rectángulo. Entonces $$. z = (w/2)\cot(\alpha/2). $$ Entonces la distancia hasta el borde inferior del rectángulo es $ z + h = z + (w/3) $$

... terminará más tarde...

Answer 2

El uso de la figura como nuestra guía, y colocando el origen en el centro.

El rectángulo es simétricas respecto a la línea de $x = 0$ Es obligado en la esquina superior izquierda por la línea de $y=x$ Es obligado en la esquina inferior izquierda por el círculo de $x^2 + y^2 = R^2$

Donde $R$ es el radio del círculo que los límites del rectángulo.

Podemos llamar a estas dos coordenadas $(x,x), (x,y)$

$x<0, y<0, |x|<|y|$

$H = x-y\\ W = -2x$

$W = 3H\\ -2x = 3x-3y\\ y = \frac 53 x$

$x^2 + (\frac 53 x)^2 = R^2\\ \frac {34}{9} x^2= R^2\\ x = - \frac {3}{\sqrt {34}} R$

las 4 esquinas son:

$(- \frac {3}{\sqrt {34}} R, - \frac {3}{\sqrt {34}} R) , ( \frac {3}{\sqrt {34}} R, - \frac {3}{\sqrt {34}} R), (\frac {3}{\sqrt {34}} R,- \frac {5}{\sqrt {34}} R), (-\frac {3}{\sqrt {34}} R,- \frac {5}{\sqrt {34}} R)$

el área de $= \frac 43 x^2 = \frac {12}{34} r^2$

Answer 3

@DougM casi tenía el enfoque correcto, pero se trata de la línea diagonal, como si se tiene la ecuación de $y=x$ que no es el caso.

Tomando el centro del círculo, el origen sabemos que el interior de la mayoría de círculo tiene la ecuación de $R^2=x^2+y^2$ donde $R=r-2b$

La línea diagonal que toca la esquina superior derecha de la plaza hace un nangle $\frac{\alpha}{2}-90$ con el eje x y que pasa por el origen, por lo que tiene una ecuación de $y=tan(\frac{\alpha}{2}-90)x$

La esquina inferior derecha del rectángulo es claramente $1.5w$ a la derecha del centro del círculo, de modo que tiene una coordenada $(1.5w,y_1)$. Debido a que este punto pasa a través del círculo podemos sustituir en la ecuación del círculo, de modo obtenemos $R^2=(1.5w)^2+y_1^2$

La esquina superior derecha del rectángulo es sólo $h$ por encima de la parte inferior derecha de la esquina por lo que tiene una coordenada $(1.5w,y_1+h)$. Poner esto en la ecuación de la recta obtenemos $y_1+h=tan(\frac{\alpha}{2}-90)(1.5w)$

El uso de estas dos ecuaciones se pueden eliminar los $y_1$

$R^2=(1.5w)^2+((tan(\frac{\alpha}{2}-90)(1.5w)-h)^2$

Utilice el hecho de que $w=3h$

$R^2=(4.5h)^2+((tan(\frac{\alpha}{2}-90)(4.5h)-h)^2$

Usted puede modificar esto para obtener $h$ en términos de$\alpha$$R$. La solución es:

$$h=\frac{2R}{\sqrt{81tan^2(\frac{\alpha}{2}-90)-36tan(\frac{\alpha}{2}-90)+85}}$$

Este enfoque le da $h$$w$. Tal vez usted puede usar esto para encontrar el punto de $P_1$. Tenga en cuenta que en mi solución puedo tomar el centro del círculo como el origen, usted tendrá que hacer un pequeño ajuste para obtener la respuesta en su sistema de coordenadas.