¿Mostrando la suma de los dos conjuntos contiene un intervalo - Baire ' s Teorema?

Question

Si $E$ $F$ son subconjuntos medibles de $\mathbb{R}$ $m(E), m(F) >0,$ $E+F$ contiene un intervalo.

El camino de la solución estándar a este se construye sobre la idea de que un apreciable conjunto de medida positiva contiene "casi todo el intervalo" (Stein y Shakarchi, "Análisis Real", p. 44).

Sin embargo, habiendo estudiado recientemente la Categoría de Baire Teorema de la primera vez, me pregunto si hay alguna manera de probar esta usando ese famoso resultado. Mi pensamiento fue, tal vez, a asumir el teorema es falso, reconocen contables de la unión de conjuntos cerrados que es igual a $E+F$ implica que cada conjunto en la unión no contiene un intervalo de abrir y, a continuación, centrarse en algún tipo de unión particular que obligaría a uno de $E$ o $F$ a no ser medible, es decir, un conjunto de Vitali de algún tipo. No estoy seguro de cómo proceder, o si esa línea de pensamiento es aún válida, ya que como lo que yo puedo decir Baire Teorema tiene poca referencia a la mensurabilidad.

Me disculpo por la excesiva generalidad de la pregunta, pero creo que me ayudaría a entender del Teorema de Baire y de su correcta configuración un poco más.

Answer 1

Ahora estoy convencido de que es imposible el uso de BC argumentos para demostrar esto (sin teoría de la medida). Primero de todos, usted escribe "suponga que el teorema es falso..." y, a continuación, pruebe a utilizar categoría de Baire asumiendo $E+F$ no contiene un intervalo.

Esto es un error, simplemente porque un juego no contiene ningún intervalo de no decir nada acerca de su categoría de Baire: puede ser de 1, puede ser 2. Un conjunto $D$ puede ser densa, innumerables, Baire categoría 2, intersección de cada conjunto en la medida completa (es decir, $m(D\cap S)=m(S)$ por cada medibles $S$) y todavía no contiene ningún intervalo. Ejemplo: los números irracionales. Por lo tanto, lamentablemente, su prueba de croquis no puede trabajar.

Para ver la mecánica de por qué BC no ver el problema de sumsets, consideremos dos conjuntos de $E$ $F$ de BC 2 y medida positiva; siempre se puede encontrar $E'\subset E$ $F'\subset F$ de medida positiva y BC 1 (ejercicio), así que ya un intervalo de $I$ existe $I\subset E'+F'\subset E+F$, por lo que el hecho de que $E$ $F$ son BC 2 no es relevante para la existencia de un intervalo en la sumset.

Lo anterior en particular, implica que la adición de mapa de $E\times F\to E+F$ no conservar la categoría, por lo que la información sobre BC no se pueden comunicar entre el origen y el destino.