¿Coeficientes binómicos impares?

Question

Por la fórmula de Newton: $$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k}b^k $ $ prueba que cada $\dbinom{n}{k}$ es impar si y sólo si $n=2^r-1$.

Yo he demostrado ya que si $n$ es de la forma $2^r-1$, haber usado la propiedad $$\binom{n-1}{k} = \binom{n}{k}-\binom{n}{k-1}+ \binom{n}{k-2} - \cdots \pm \binom{n}{0}.$$ But I have not been able to demonstrate "$ \Rightarrow$ ".

¡Por favor, ayúdame! Gracias.

Answer 1

Esto se deduce fácilmente de Kummer del Teorema, que el mayor poder de un primer $p$ que divide $\binom{n}{m}$ es igual al número de "lleva" al agregar $n-m$ $m$ base $p$. En particular, $\binom{n}{m}$ es impar si y sólo si no hay ningún lleva al añadir en la base de las $2$. Si la expresión binaria de $n$ tiene $0$s, entonces la selección de $m$ a tener un $1$ a, precisamente, la primera $0$ $0$s en otra parte le da un valor con $\binom{n}{m}$ incluso. Así, la expresión de $n$ debe consistir enteramente de $1$s, es decir, $n$ debe ser de la forma $n^r-1$ algunos $r$. (Tenga en cuenta que este argumento muestra que la misma conclusión se aplica en el caso de "raro" y $2$ se sustituyen por "el primer a $p$" e $p$".)

El resultado se desprende también de la de Lucas Teorema, que describe el resto de $\binom{n}{m}$ cuando se divide por un primer $p$.

Ver también esta la pregunta anterior.