En construcciones de marcado de la regla y el compás

Question

Pierpont demostrado que regular $n$-gon es edificable por (de forma aislada) marcó regla y el compás, si y sólo si $n = k \, p_1 \cdots p_{s}$ donde $k = 2^{a_1} 3^{a_2}$ $a_i \geq 0$ $p_i = 2^{b_1} 3^{b_2} + 1 > 3$ es primo con $b_i \geq 0$.

Se ha conocido desde los tiempos de Arquímedes que una marcada regla permite que el ángulo de trisection. Vamos a un $q$-sector de ser un objeto que permite ángulo de $q$-sección.

No generalizar este resultado a la siguiente?

Deje $q$ ser una de las primeras. Regular $n$-gon es edificable por $q$-sector de la regla y el compás, si y sólo si $n = k \, p_1 \cdots p_{s}$ donde $k = 2^{a_1} 3^{a_2} \cdots q^{a_m}$ $a_i \geq 0$ $p_i = 2^{b_1} 3^{b_2} \cdots q^{b_m} + 1 > q$ es primo con $b_i \geq 0$.

Actualización: Gleason's documento proporciona la respuesta completa para el edificable $n$-ágonos. Aquí, se muestra que una regular $n$-gon es edificable por regla, compás y $p$-sector para cada uno de los prime $p$ dividiendo $\varphi(n)$, el de Euler totient de $n$.

Por lo tanto, debo modificar mi conjetura a la siguiente:

Deje $q$ ser una de las primeras. Regular $n$-gon es edificable por $\{ 3, 5, \dots, q \}$-sectores, la regla y el compás, si y sólo si $n = k \, p_1 \cdots p_{s}$ donde $k = 2^{a_1} 3^{a_2} \cdots q^{a_m}$ $a_i \geq 0$ $p_i = 2^{b_1} 3^{b_2} \cdots q^{b_m} + 1 > q$ es primo con $b_i \geq 0$.

Una dirección es cierto mediante la multiplicativity de Euler totient función. La pregunta ahora es si la otra dirección también se mantiene.

Answer 1

En primer lugar, no estoy seguro hay una cosa tal como una regla suficientemente marcada para permitir que, dicen, cortar un ángulo arbitrario en 5 trozos. Pero incluso si existe tal cosa, no veo cómo le ayudaría a construir, digamos, un polígono regular de 7 lados. Para construir este polígono, usted necesita construir soluciones de un irreducible cúbico, mientras que la regla le ayuda a construir soluciones de un irreducible de grado. Los campos tienen nada que ver uno con el otro.