Ejemplo de un contable establece que tiene volumen cero.

Question

La siguiente pregunta preguntaron en mi examen que dice:

Dar un ejemplo de un sistema contable que tiene volumen cero.
Sugerencia: demostrar que si $S=\{a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots\}$ es el conjunto de puntos que forman una secuencia convergente entonces tiene volumen cero.

Todavía no puedo entender lo que es el uso de una secuencia convergente en el que muestra que el $S$ tiene volumen cero. Puede alguien por favor ayudarme a entender esto...

Answer 1

Dada una secuencia convergente $a_n\to a$, tomar un rectángulo %#% en $R$ de volumen $a$ #%. Hay solamente finito muchos $\frac12\epsilon$ $n$. Para cada uno de ellos toma un rectángulo alrededor de $a_n\notin R$ de volumen $a_n$. Entonces el volumen total de estos rectángulos finitamente muchos es $2^{-n}\epsilon$.

Answer 2

A menos que malinterpreten, hay una solución mucho más simple. Considerar el conjunto de $S = \{(r, 0) \mid r \in \mathbb{Q} \cap [0, 1]\}$. Entonces nos fijamos en rectángulos de la forma (más o menos, usted debe ajustar esto por consiguiente) $R = [0, 1] \times [-\epsilon, \epsilon]$. Estos contienen $S$, y su volumen va a ser $2\epsilon$.

Answer 3

Para aplicar lo que la definición en sus notas debe ser, para cada una de las $n$, elija un rectángulo de lado a $\varepsilon^{1/d}/2^n$ que contiene $a_n$, entonces la unión de estos rectángulos contiene $S$ y su volumen es mayor que la suma de los volúmenes de $(\varepsilon^{1/d}/2^n)^d$ de los rectángulos, que es menor que el $\varepsilon$, QED.

La sugerencia en sus notas para incluir a $S$ en un finita de la unión de los rectángulos es inexacta en general (piénsese, por ejemplo, $S=\mathbb Z^d$). En el caso particular cuando a $S$ es el conjunto de puntos de una convergencia de la secuencia, se puede proceder como sigue.

Por definición de convergencia, para cada $\varepsilon$ existe $N$ de manera tal que todos los $a_n$ está a la distancia en la mayoría de las $\varepsilon$ desde el límite. Así, todos los puntos de $a_n$ $n\geqslant N$ están en un rectángulo de lado a $2\varepsilon$. El uso de rectángulos de lado $\varepsilon/2^n$ $N$ primeros puntos. A continuación, el volumen total de los rectángulos es en la mayoría de las $\varepsilon^d+(2\varepsilon)^d$, QED.