Demostrando la unicidad de $e$

Question

Vamos a definir $e$ como el número de $a$ tal que $\frac {d}{dx} a^x = a^x$. Estoy tratando de demostrar que esta $a$ se $e$. Yo no veo ninguna manera de proceder a partir de aquí, excepto por el límite de la definición (no estoy suponiendo que yo sé cuál es el $\ln$ función es, o de lo contrario no sería mucho más fácil la definición de $e$ que se tenía).

$$\frac {d}{dx} a^x=\lim_{h\to 0} \frac {a^{x+h}-a^x}{h}=\lim_{h\to 0} a^x\frac{a^h-1}{h}=a^x\left(\lim_{h\to 0} \frac{a^h-1}{h}\right)$$

Así que, claramente, $e$ debe ser el número que hace que el límite en el extremo derecho igual a $1$. No estoy seguro de cómo evaluar esta. Usando la regla de L'Hospital, acabo de llegar de $\lim_{h\to 0} \frac {d}{dh} a^h$, que no es particularmente de ayuda.

Así que mi pregunta:

¿Cómo puedo demostrar que existe un único número tal que $\lim_{h\to 0} \frac {a^h-1}{h}=1$?

Answer 1

Por desgracia, como nota, el límite $$\lim_{h\rightarrow0}\frac{a^h-1}h$$ no es fácil de trabajar con (ya que es igual a $\log(a)$). Podemos, sin embargo, brillan dos bits de información. En primer lugar, si definimos la función $$f(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{a^h-1}h$$ podemos demostrar que es monótona creciente; en particular, observe que si $b>a$ a continuación, a partir de la continuidad de $x\mapsto a^x$ podemos encontrar algunos de $k>1$ tal que $a^{k}=b$. Por tanto, podemos escribir $$f(b)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{a^{kh}-1}{h}$$ o si sustituimos $h'=kh$, obtenemos $$f(b)=\lim_{h'\rightarrow 0}k\frac{a^{h'}-1}{h'}=kf(a)>f(a).$$ Por supuesto, cuando el sustituto de cosas, usted puede rápidamente encontrar ese $f=\log$$k=\log_a(b)$, pero nunca hemos usado estos hechos y son, de hecho, demostrando todo esto desde cero.

También se podría derivar una fórmula para $e$ sabiendo que $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{e^h-1}h=1$$ En particular, elija $h=\frac{1}n$ por entero $n$ (que es justificado desde $\frac{e^h-1}h$ es continua para $h\neq 0$. Entonces tenemos $$\lim_{n\rightarrow\infty}n(\sqrt[n]e-1)=1$$ Ahora, por un fijo $n$ definir $e_n$ a ser el valor que la anterior igualdad (ignorando el límite) se mantiene. Que es $$n(\sqrt[n]{e_n}-1)=1$$ y la solución para $e_n$ da $$e_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n.$$ Debe ser bastante claro que $e=\lim_{n\rightarrow\infty}e_n$, y que este hecho podría ser hecho formal sin demasiado esfuerzo - pero, intuitivamente, es claro, desde el $e_n$ es la solución para cada caso se aproximan al límite, el límite de los mismos es la solución para el caso limitante.

Answer 2

En primer lugar, tenga en cuenta que $\frac {d}{dx} 0^x = 0^x$, por lo que realmente quiere saber que hay es un único positivo real número $a$ que $\frac {d}{dx} a^x = a^x$.

Supongamos que $\frac{d}{dx}a^x=a^x$ y $\frac{d}{dx}b^x=b^x$, $a$ y $b$ ambos positivos. Entonces por la regla del cociente, $$\frac{d}{dx}\left(\frac{a}{b}\right)^x=\frac{d}{dx}\frac{a^x}{b^x}=\frac{b^xa^x-a^xb^x}{b^{2x}}=0.$$ Then $\left (\frac {a} {b} \right) ^x$ is a constant, which implies that $\frac {a} {b} $ is $1 $ or $0 $. Since $a > 0$, $\frac{a}{b}$ must be $1$, so $a=b$.