En relación con un problema que soy de problemas, me parece estar recibiendo la serie %#% $ #% donde $$S = 4 \cdot \frac{F_1}{4}+5 \cdot \frac{F_2}{8}+6 \cdot \frac{F_3}{16}+7 \cdot \frac{F_4}{32}+ \cdots$ son los números de Fibonacci. ¿Cómo se resuelve?
Veo aquí que la secuencia de Fibonacci se relaciona con una secuencia geométrica, pero no estoy seguro de cómo incorporar eso.
Que $$F(x) =\sum _{i=0}^{\infty}F_nx^n$$ Then by Infinite Series: Fibonacci/ $2 ^ $ n tenemos
$$F(x) = {x\over 1-x-x^2}$ $ que nos interesa en $F'(1/2)$ tan...
Considere la posibilidad de la generación de la función $$F(x)=\sum_{n=1}^{\infty}F_nx^n$$ If we index the Fibonacci numbers as $F_1=1=F_2$ then this can be computed as $$F(x)=\frac x{1-(x+x^2)}$$
Ver, por ejemplo, esta pregunta
Ahora sólo tienen que adaptar para adaptarse a su serie.
Primera observación que $$G(x)=x^3F(x)=\frac {x^4}{1-(x+x^2)}=\sum_{n=1}^{\infty}F_nx^{n+3}$$ De ello se desprende que $$\frac d{dx}G(x)=3x^2F(x)+x^3F'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(n+3)F_nx^{n+2}$$
Tomando $x=\frac 12$ los rendimientos de la suma de $4\frac {F_1}8+5 \frac {F_2}{16}+\cdots$ que es eaxactly la mitad de su suma. Por lo tanto la respuesta que buscamos es $$2\times \left(3\times \left(\frac 12\right)^2\times F\left(\frac 12\right)+\left(\frac 12\right)^3F'\left(\frac 12\right)\right)$$
Esto es (relativamente) fácil de calcular y de los rendimientos de $$\boxed 8$$
La pena destacar: Esto está de acuerdo con la computación numérica (suma de los cien primeros términos de los rendimientos de $7.999999936$).
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