interpretación geométrica de una cuestión de integral de línea

Question

Me preguntaba: si la interpretación geométrica de una integral de línea es que la integral de línea da el área bajo la función a lo largo de una trayectoria, entonces ¿por qué la integral de línea es igual a cero cuando la función es holomorfa dentro de una trayectoria cerrada, y por qué es proporcional al residuo si la función tiene una singularidad dentro de la trayectoria?

Espero que mi pregunta sea clara :). Gracias de antemano por todos sus comentarios :).

Answer 1

Se trata de una pregunta muy interesante que pone de manifiesto lo especiales que son las funciones holomorfas. No sé si lo que sigue es una respuesta completa, pero permítanme abordar algunos puntos:

1) La interpretación de "área bajo la función a lo largo de un camino" podría ser un poco problemática en este caso porque la función toma valores complejos. Sin embargo, creo que es un problema menor: Se podría dividir la integral en partes reales e imaginarias y así considerar dos integrales de línea o utilizar la interpretación de una integral de línea de un campo vectorial como medir el ángulo entre la curva y los valores de la función y obtener de nuevo una integral de línea. También esta pregunta y su respuesta podría ser interesante en ese sentido

2) Una función holomorfa sobre un dominio simplemente conexo tiene siempre una antiderivada y como tal, una integral de línea no es más que el valor de esta antiderivada en el punto final de la línea menos el valor en el inicio. Pero si estos dos puntos son iguales, los valores también lo son y, por tanto, ¡el valor de la integral es cero!

3) Las funciones $f(z)=z^{-n}$ para $n>0$ son holomorfas en $\mathbb{C}\backslash \{0\}$ que no está simplemente conectado. Sin embargo, para $n\neq 1$ siguen teniendo una antiderivada holomorfa en todas partes excepto en el origen (es decir $\frac{z^{-n+1}}{-n+1}$ ).

4) La función $\frac{1}{z}$ "tiene" $\operatorname{log}z$ como antiderivada, sin embargo ésta no está definida en el plano complejo sin un punto. Sin embargo, es casi: si eliminamos un rayo "desde el origen hasta el infinito" de nuestro plano, podemos definirlo. Sin embargo este rayo cortará nuestro bucle cerrado. Supongamos que lo hace en el punto de partida. Entonces tenemos que acercarnos a él desde dos lados. Resulta que el valor del logaritmo "en" el rayo (donde no está definido) difiere exactamente en $2\pi i$ dependiendo de la dirección de la que vengamos. Esto se puede precisar de diferentes maneras: Calcular formalmente los límites o utilizar la idea de una "superficie de Riemann de cobertura" donde el logaritmo es definida y levantar el camino a esta superficie de Riemann. Allí ya no está cerrada, sino que "sube la escalera" una vez. (Esta última idea necesita algo de tiempo para precisarse, por lo que me remito al Artículo de Wikipedia que tiene, por ejemplo, una bonita foto de la "escalera")

5) Para una función meromorfa general utilice una representación en serie como se muestra en la otra respuesta. Todos los términos de la serie, excepto el que tiene el residuo como coeficiente, tienen antiderivadas holomorfas, por lo que no contribuyen a la integral de línea.

Answer 2

Si bien es cierto que se puede ver la integral de línea como "el área bajo la función a lo largo de una trayectoria", eso por sí solo no es suficiente para dar una respuesta a por qué las integrales de línea cerradas sobre funciones holomorfas son proporcionales a los residuos dentro de la trayectoria.

Se puede escribir una función holomorfa $f(z)$ alrededor de $z_0$ como $f(z) = \sum_{n=0}^{\inf}a_n(z-z_0)^n + \sum_{n=1}^{\inf}b_{-n}(z-z_0)^{-n}$ . Por el teorema de Goursat es fácil ver que la primera suma será cero cuando se integre sobre una integral de línea cerrada. Eligiendo una parametrización simple del círculo unitario alrededor de $z = 0$ para la integral de línea, se ve que la segunda suma también es siempre cero, excepto para el término donde $n = 1$ que da $2\pi b_{-1} i$ . Por lo tanto, la integral total será $2\pi i b_{-1}$ .

Como puedes ver, todos estos hechos se basan en teoremas que tienen que ver con el análisis complejo, y no es obvio que deba sostenerse desde un punto de vista geométrico. Si quieres una interpretación geométrica, para las funciones analíticas puedes decir que el "área compleja" bajo cualquier bucle cerrado es siempre cero, es decir, las partes reales y complejas siempre se cancelan exactamente.