Cambio de fórmula de variables para la integración de Riemann y Lebesgue

Question

En el marco de Riemann de integración, tenemos el siguiente cambio de variables de la fórmula:

Deje $[a,b]$ sea un intervalo cerrado y deje $\phi:[a,b]\to[\phi(a),\phi(b)]$ ser un continuo y monótono función creciente. Deje $f:[\phi(a),\phi(b)]\to{\Bbb R}$ ser una de Riemann integrable de la función en $[\phi(a),\phi(b)]$. El $f\circ\phi:[a,b]\to{\Bbb R}$ es Riemann-Stieltjes integrable con respecto a $\phi$ $[a,b]$ y $$ \int_{[a,b]}f\circ\phi\ d\phi=\int_{[\phi(a),\phi(b)]}f. \etiqueta{1} $$

En el marco de la integración de Lebesgue, tenemos las siguientes:

Deje $(X,{\mathcal B},\mu)$ ser una medida en el espacio, y deje $\phi:X\to Y$ ser medibles de morfismos de $(X,{\mathcal B})$ a otro espacio medible $(Y,{\mathcal C})$. Definir el pushforward $\phi_*\mu:{\mathcal C}\to[0,+\infty]$ $\mu$ $\phi$ por la fórmula $\phi_*\mu(E):=\mu(\phi^{-1}(E))$. Si $f:Y\to[0,+\infty]$ es medible, entonces $$ \int_Y f\ d\phi_*\mu=\int_X(f\circ\phi)\ d\mu. \etiqueta{2} $$

Mi pregunta es: ¿cómo puedo interpretar (1) en términos de (2)?

Answer 1

La clave es entender lo $d\phi$ es; formalmente, es la Lebesgue-Stieltjes de medida asociada a la creciente, derecho-función continua $\phi$ (si a usted le preocupa que $\phi$ no está definida en todos los de $\mathbb{R}$ como en el tratamiento habitual, se puede extender $\phi$ en la forma canónica). En particular, $$d\phi( (a,b)) = \phi(b) - \phi(a) $$

Mirando el Lebesgue de cambio de variables teorema, si tomamos $\mu$ a la medida, entonces obtendremos $$ \int_{[a,b]} f \circ \phi \, d\phi = \int_{[ \phi(a), \phi(b)]} f d( \phi_{\ast}d\phi) $$ Bien, ¿cuál es la medida de $\phi_{\ast} d\phi$? Si $E$ es un intervalo de $E = (\phi(c_1), \phi(c_2))$, entonces por la definición de la pushforward y el hecho de que $\phi$ está en aumento, tenemos $$ \phi_{\ast} d\phi(E) = d\phi((c_1, c_2)) = \phi(c_2) - \phi(c_1) $$ Por lo tanto $\phi_{\ast} d\phi$ se lleva a intervalos y devuelve exactamente su longitud! Luego, completando de esta medida a una medida de Borel, etc, debe ser de la medida de Lebesgue, y así es $dx$ como se desee.