¿Si $f>0$ es discontinua y limitada en $I$, existe un $g>0$ limitada tal que $fg$ es continua por lo menos en un punto?

Question

Que $I\subseteq\mathbb{R}$ ser un cerrado y limitado intervalo y sea una función acotada que es discontinua en cada punto de $$f:I\to(0,\infty)$ $I$ $.

¿Existe una función acotada $g:I\to(0,\infty)$ tal que el producto $fg$ es continua por lo menos en un punto de $I$?

Answer 1

No necesariamente. Que $f(x) = 1/2^n$ si $x = m/2^n$ $m \in \mathbb{N}$ y 1 lo contrario. Si es continua en $fg$ $x_0$ $a>0$ tenemos $g(x) \approx a/f(x)$ cerca de $x_0$. Entonces usted puede demostrar que $g$ es ilimitada. (De hecho, es ilimitada en cada barrio de $x_0$.)

¿Puedes ver cómo hacer este argumento preciso?