Deje $\mathbb{F}_q$ ser un campo finito con algebraicas cierre de $\overline{\mathbb{F}}_q$ y considerar el trenzado polinomio anillo de $\overline{\mathbb{F}}_q\{ \tau \}$, donde la multiplicación satisface la relación $\tau x = x^q \tau$$x \in \overline{\mathbb{F}}_q$. Este anillo se parece mucho a la trenzado anillo de grupo $\overline{\mathbb{F}}_q[\text{Gal}(\overline{\mathbb{F}}_q/\mathbb{F}_q)]$. Por Galois descenso, módulos sobre el segundo anillo son casi la misma cosa como $\mathbb{F}_q$-espacios vectoriales, excepto que hay una continuidad condición: cualquier elemento del módulo debe ser fijada por una potencia lo suficientemente grande de la Frobenius.
Así que aquí está mi pregunta: dado un $\overline{\mathbb{F}}_q\{ \tau \}$-módulo, hay ninguna razón a priori que la acción de la $\tau$ debe extenderse a un (continua) la acción de $\text{Gal}(\overline{\mathbb{F}}_q/\mathbb{F}_q)$? Si no, entonces la categoría de $\overline{\mathbb{F}}_q\{ \tau \}$-módulos contiene $\mathbb{F}_q$-espacios vectoriales como una subcategoría adecuada. Entonces, ¿qué $\overline{\mathbb{F}}_q\{ \tau \}$-módulos corresponden a?
Edit: Después de una reflexión, es claro que $\tau$ no necesita actuar invertibly de manera arbitraria $\overline{\mathbb{F}}_q\{ \tau \}$-módulo: por ejemplo, considere el$\overline{\mathbb{F}}_q[t]$$\tau \cdot f = f^q$. Para reemplazar todas las apariciones de $\overline{\mathbb{F}}_q\{ \tau \}$ en el párrafo anterior con el trenzado de los polinomios de Laurent $\overline{\mathbb{F}}_q\{ \tau,\tau^{-1} \}$.
