Hay $\pi$ puntos aquí:
Dado un intervalo de $(a,b)$ podemos escribir todos los racionales como $\dfrac{p}{q}$ donde$q>0$$\gcd(p,q)=1$. Ahora vamos a $n$ ser la mínima $q$ que aparecen en todos los racionales, a continuación, encontrar $m\in\mathbb Z$ tal que $|m|$ es mínima en el conjunto de todos los racionales en $(a,b)$ $n$ en el denominador.
El resultado racional $\dfrac{m}{n}$ $(a,b)$ y se ha construido sin el axioma de elección. Tenga en cuenta que uno puede escribir más simple, tal vez, funciona como el menos $n\in\mathbb N$ que $q=\dfrac1n$ que $a<\lfloor a\rfloor+q<b$ (esto se garantiza que existe desde $0\le a-\lfloor a\rfloor<b-a$, y podemos encontrar algunas racional).
Si $U$ es un conjunto abierto puede ser escrito como $\bigcup\{U_x\mid x\in U, U_x\text{ basic open set}\}$. Ahora, considere el hecho de que $\mathbb Q\times\mathbb Q$ es contable sin no requiere el axioma de elección, por lo tanto aún hay countably muchos intervalos de $(a,b)$ $\mathbb R$ tales $a,b\in\mathbb Q$.
Podemos, si es así, escriba el intervalo de $(s,t)=\bigcup\{(a,b)\mid a,b\in\mathbb Q\cap(s,t)\}$, que es la unión de todos los posibles subintervalos de $(s,t)$ cuyos extremos son racionales.
Si uno quiere escribir $U$ como distinto de la unión, uno puede enumerar $\{(a,b)\subseteq U\mid a,b\in\mathbb Q\}$ $U_n, n\in\mathbb N$ y definen $\mathcal A=\{U_n\mid\forall k<n:U_n\cap U_k=\varnothing\}$, esto no requiere el axioma de elección. Ahora podemos definir una relación en $\mathcal A$ que será una relación de equivalencia:
Deje $U_n \# U_k$ si comparten un punto final. Este es reflexiva y simétrica relación. Deje $\sim$ ser su clausura transitiva (de nuevo, sin usar el axioma de elección ya que este puede ser definido sin él). Ahora tenemos una relación de equivalencia en $\mathcal A$, de tal manera que la unión de cada relación de equivalencia es un intervalo, que son distintos, y no sólo se countably muchos desde $\mathcal A$ fue contables, para empezar. Escribimos $U$ como el contable de la unión de intervalos disjuntos.
Por último, las propiedades de retención para colecciones pequeñas (es decir, conjuntos de un almacén de tamaño, como $\mathbb R$) no son por lo general equivalente al axioma de elección, como se puede construir un modelo en el que el axioma de elección se tiene para todo lo de cardinalidad en la mayoría de las $|P(P(P(P(P(P(P(P(P(P(P(P(P(P(P(P(P(\mathbb R)))\ldots)|$, pero no para algunos de los conjuntos más grandes de este cardinalidad.
Probablemente debería añadir otro método para reemplazar el primer paso, que es más limpio que, aunque menos algorítmica en la naturaleza.
Sabemos que los números racionales son numerables, por lo que podemos enumerarlos $\{q_n\mid n\in\mathbb N\}$.
Tenga en cuenta que todos los no-vacío conjunto abierto (en particular, no devenerate intervalos) tiene al menos un número racional en el interior, por lo que para un conjunto abierto $U$ simplemente deje $q_U$ $q_k$ donde $k=\min\{n\in\mathbb N\mid q_n\in U\}$.
