Cual es la forma más rápida de papel-lápiz enfoque para calcular el producto de $$ \prod \limits_{i=1}^{45}(1+\tan i^\circ) $$
Respuestas
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El uso de $$ 1+\tan x = \frac{\sin x + \cos x}{\cos x} = \frac{\sqrt{2} \cos (45^{\circ} - x)}{\cos x}, $$ el producto puede ser escrita como: $$ \prod_{x=1}^{45}(1+\tan x^\circ) = 2^{45/2} \prod_{x=1}^{45} \frac{\cos (45 - x)^{\circ}}{\cos x^{\circ}} \stackrel{(1)}{=} 2^{45/2} \cdot \frac{\prod\limits_{x=0}^{44} \cos x^{\circ}}{\prod\limits_{x=1}^{45} \cos x^{\circ}} \stackrel{(2)}{=} 2^{45/2} \cdot \frac{\cos 0}{\cos 45^{\circ}} = 2^{23}, $$ donde nos
- vuelvan a indexar el producto en el numerador, y
- cancelados los factores comunes.
Otro enfoque. Si $x+y = 45^{\circ}$, luego $$ 1 = \tan(x+y) = \frac{\tan x + \bronceado y}{1 - \tan x \bronceado y}, $$ que reorganiza a $$ \tan x \bronceado y + \tan x + \bronceado y = 1 \quad \implica \quad (1+\tan x)(1+\bronceado y) = 2. $$ Ahora conecte $x = 0^{\circ}, 1^{\circ}, 2^{\circ}, \ldots, 45^{\circ}$, por lo que el $y$ toma los mismos valores pero en el orden contrario. La multiplicación de todas estas ecuaciones, obtenemos $$ \left[ \prod_{x=0}^{45} (1+\tan x^\circ) \right]^2 = 2^{46}. $$ Tomando la raíz cuadrada y tomando nota de que $1+\tan 0^\circ = 1$, podemos obtener la respuesta.
Farkhod Gaziev
Puntos
6
El uso de este, $$(\cot A + \tan y)(\cot A+ \tan(A-y))=\csc^2A \text{ if } A\ne m\pi\text{ where }m\text{ is any integer}$$
Poner a $A=45^\circ, (1 + \tan y)(1+ \tan(45^\circ-y))=\csc^245^\circ=2$
Ahora, poniendo a $y=1^\circ,2^\circ,3^\circ,\cdots,\lfloor\frac{45}2\rfloor^\circ=22^\circ$ y la multiplicación de ellos se obtiene, $$\prod_{1\le r\le 22}(1+\tan r^\circ)(1+\tan(45-r)^\circ)=2^{22}$$
$$\implies \prod_{1\le r\le 44}(1+\tan r^\circ)=2^{22}$$
No pareadas $1+\tan45^\circ=1+1=2$
Nikolai Prokoschenko
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2507
