Estrategia óptima en un juego de pujas

Question

Nota: No espero una solución limpia de forma cerrada para esto, y estaría muy sorprendido si existiera una, pero pensé en preguntar para ver qué ideas tenían otras personas.

Hay una $100 bill up for auction. There are $ n $ players, each of which is allowed to bet an integer amount between$ 0 y \$99, inclusive.

Sin embargo, esta es una subasta muy extraña. La puja ganadora es el mayor número que nadie haya adivinado. Si nadie adivinó un número único, nadie gana el billete.

Bajo los siguientes supuestos:

• Todos los jugadores siguen la misma estrategia (que debe ser cierta por simetría)
• El objetivo de cada jugador es maximizar el beneficio esperado. Como se trata de una subasta, si un jugador no gana, recupera su oferta con un beneficio neto $0$ .
• Ningún jugador puede obtener un mayor beneficio esperado desviándose de la estrategia.
• Si hay múltiples estrategias de este tipo que satisfacen todo lo anterior, los jugadores siguen la estrategia con la máxima expectativa. Si hay varias estrategias empatadas en eso también, entonces los jugadores siguen la estrategia que maximiza la posibilidad de que algún jugador gane.

¿cuál es la estrategia óptima?

Mi intuición es que esto es ridículamente intratable - sólo conozco la solución para $n = 2$ . Para $n = 3$ Tengo una estrategia si restringes las ofertas a $0$ o $99$ (lo óptimo es pujar \$0 $\frac{10}{11}$ of the time). So far, I have no apporaches for the general $n = 3$ juego que evite el cómputo ridículo.

Answer 1

Creo que $n=3$ sólo implicará un montón de ecuaciones. Aquí está mi esquema.

Debe ser que un jugador obtenga una recompensa igual de todas las acciones especificadas en su estrategia. Obsérvese que la puja más baja, 0, sólo gana si las otras dos pujan lo mismo. Sea $x=(x_0,x_1,\dots,x_{99})$ sea el peso que cada jugador da a cada acción (naturalmente $x_0$ es el peso sobre 0, etc). Por lo tanto, la recompensa esperada es

$$100\sum_{i=1}^{99}x_i^2$$

Vamos a omitir la oferta de 1 por ahora.

Para la puja 2, un jugador sólo gana si los demás pujan lo mismo o por debajo de 2.

$$(100-2)( \sum_{i\neq 2}x_i^2 + 2x_0x_1)$$

Ahora para un general $j$ . Un jugador gana si los demás ofertan lo mismo o todo por debajo de $j$ .

$$(100-j)[ \sum_{i=j+1}^{99} x_i^2 + (\sum_{i=0}^{j-1} x_i)^2 ]$$

Finalmente, este vector vive en el simplex. $\sum_{i=0}^{99}x_i=1$ .

Esto da $100$ ecuaciones para $100$ incógnitas, por lo que debería ser capaz de resolver. Aquí, el jugador es indiferente entre todas las estrategias, por lo que debe ser la mejor respuesta, y tenemos un equilibrio.