¿6 ecuaciones independientes de campo de Einstein?

Question

No entiendo el comentario en la página 409, la Gravitación, por Misner, Thorne, Wheeler

De ello se desprende que los diez componentes $G_{\alpha\beta} =8\pi T_{\alpha\beta}$ de la ecuación de campo no debe determinar por completo y de forma exclusiva de todos los diez componentes de la $g_{\mu\nu}$ de la métrica.

En el countrary, $G_{\alpha\beta} =8\pi T_{\alpha\beta}$ debe colocar sólo seis independiente de las restricciones en el diez $g_{\mu\nu}(\mathcal{P})$, dejando cuatro funciones arbitrarias a ser ajustado por el hombre de la especialización de los cuatro coordinar las funciones de $x^{\alpha}(\mathcal{P})$.

Yo no lo entiendo. Creo que siempre se puede resolver la ecuación de campo con inicial apropiado/condiciones de contorno para obtener únicas $g_{\mu\nu}$. Después de todo los que son de segundo orden ecuaciones diferenciales. Para ser más específicos, déjame intentar construir un contador de ejemplo, el vacío de la ecuación de Einstein, $$G_{\mu\nu}=0$$ Si aplicamos las condiciones iniciales $g_{\mu\nu}|_{t=0}=\eta_{\mu\nu}$${\dot{g}_{\mu\nu}}|_{t=0} =0$, obviamente el plano espacio-tiempo $g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}$ debe ser la solución. Si la solución de $g_{\mu\nu}$ es único, ¿cuál es la alternativa de solución?

Si existe una solución alternativa, viene de "especialización" de los cuatro coordinar las funciones"?

Actualización: user23660 construido un explícito solución alternativa, que es $$ g_{00}=(f'(t))^2,\quad g_{ij}=-\delta_{ij} $$ los demás componentes son cero.

La función de $f$ sólo necesitan para satisfacer $f'(0)=1,f''(0)=0$, lo que hace que esta métrica compatible con los datos iniciales; aparte de eso, es completamente arbitraria! Y vemos que venga de la transformación de coordenadas $t=f(\tau)$

Para obtener la solución a ser $\eta_{\mu\nu}$, tenemos que poner más restricciones en la métrica directamente en este sistema de coordenadas, como $g_{00}=1,g_{0i}=0$.

Este redundantes grados de libertad(calibre) resultado de la contratada Bianchi identidad, como se explica en el siguiente párrafo de MTW de la página 409, $$G^{\alpha\beta}{}_{;\beta}=0$$ es cierto automáticamente, y así la ecuación de movimiento de la materia campos de $T^{\alpha\beta}{}_{;\beta}=0$ realmente no ponen restricciones sobre la evolución de la métrica. Por lo tanto, sólo hay 6 ecuaciones independientes!

Answer 1

Por supuesto, la métrica $\eta_{\mu\nu}$ no es una solución única para Einstein vacío de ecuaciones compatible con su inicial de los datos. Y sí, podemos interpretar las alternativas derivadas de coordinar las funciones.

Tomemos el más simple de dicha función: redefinir el tiempo mediante la introducción de la nueva variable 'tiempo' $\tau$ a través de una relación $t=f(\tau)$ (espacial de las coordenadas que vamos a mantener intacta). La métrica en las nuevas coordenadas $(\tau,x,y,z)$ sería $$ ds^2=(f'(\tau))^2 d\tau^2 - \delta_{ij}dx^i dx^j. $$ Es, obviamente, diferente métrica. Y por la elección de la función de $f$ satisfacer algunas condiciones de simple ($f(0)=0$, $f'(0)=1$, $f''(0)=0$) esta métrica será compatible con el inicial de datos.

Pero, al mismo tiempo, es igualmente obvio que esta métrica todavía corresponde para el mismo espacio-tiempo - el espacio de Minkowski-tiempo (al menos localmente).

Además. Para hacer una solución de las ecuaciones de Einstein único que se puede utilizar de coordinar condiciones (que son análogos para medir las condiciones de fijación en la teoría EM). Estos funcionan como restricciones sobre la métrica de impuestos además de las ecuaciones de Einstein.

También, si usted está interesado en los datos iniciales - tiempo de evolución de la formulación de la relatividad general, recomiendo mirar el formalismo ADM.