Pregunta de factorial: número de ceros en 125 de finales!

Question

¿Cuántos ceros son después del último dígito distinto de cero de 125?

La respuesta es 31, pero ¿cómo resolverlo?

Answer 1

Bien, sabemos que para tener un cero al final, a continuación, $10$ debe ser un factor, lo que significa que $5$ $2$ debe ser factores. Sin embargo, cada otro factor es aún, por lo que hay mucho más factores de $2$ $5$ - Como tal, tenemos que contar el número de factores divisible por $5$. El número de factores divisible por $5$ menos que o igual a $125$ $25$ (acabamos de hacer $\frac{125}{5}$), por lo que la respuesta parece ser $25$, pero entonces recordamos que $25 = 5\cdot5$, por lo que debemos contar con el doble de cada factor divisible por $25$, de los cuales hay $5$; en consecuencia, nuestra respuesta es $30$. PERO ESPERA... $125 = 5^3$, por lo que tenemos que contar también, que nos da una respuesta final de la $31$

Answer 2

La fórmula explicando por encima: $$\text{Number of zeros in }n!=\left[ \frac {n}{5} \right]+\left[ \frac {n}{5^2} \right]+\ldots $ $ donde [...] denota la función entero mayor.

Answer 3

Tenga en cuenta que si hay al menos un cero después de que el último no-dígito cero de $125!$, $125!$ es divisible por $10$. Del mismo modo, si hay dos, a continuación, $125!$ es divisible por $100$, etc.. por Lo tanto, es necesario comprobar cómo muchas veces $125!$ es divisible por $10$.

Por ello, contamos los múltiplos de $5^1$, $5^2$, y $5^3 = 125$,$125!$. Es fácil ver que hay $25 = 125/5$ factores divisible por $5^1 = 5$, menos de $125$. Del mismo modo, hay $ 5 = 125/25 $ factores divisible por $5^2 = 25$$125$. Y por último, no es $1 = 125/125$ factores divisible por $5^3 = 125$. Por lo tanto, por la suma de la regla, hay $25 + 5 + 1 = 31$ de esos factores. Pero, esta cuenta el número de veces $125!$ es divisible por $10$, ya que el $10 = 5 \times 2$, y hay un $2$ en el primer descomposición de $125!$.

Answer 4

Sólo les cuento.

125. = 188267717688892609974376770249160085759540364871492425887598231508353156331613598866882932889495923133646405445930057740630161919341380597818883457558547055524326375565007131770880000000000000000000000000000000

¿Tengo una computadora de Apple? Calcular el valor usted mismo. Abajo se encuentra el applescript. Pegar en la aplicación de Editor de secuencia de comandos y haga clic en el botón "Ejecutar el Script".

on ids(digits as text)
    if digits is "" or digits is not "0" and digits starts with "0" then error "bad integer " & digits
    set x to (id of digits) as list
    repeat with digit in x
        if digit < 48 or digit > 57 then error "bad integer"
    end repeat
    return x
end ids

on add(x as text, y as text)
    set {a, b, n, carry} to {ids(x), ids(y), (length of x) - (length of y), 0}
    if n < 0 then set {a, b, n} to {b, a, -n}
    repeat with i from length of a to 1 by -1
        set {carry, sum, j} to {0, carry + (item i of a), i - n}
        if j > 0 then set sum to sum + (item j of b) - 48
        if sum > 57 then set {carry, sum} to {1, sum - 10}
        set item i of a to sum
    end repeat
    if carry > 0 then set beginning of a to carry + 48
    return character id a
end add

on multiply(x as text, y as text)
    set {a, b, c, sum} to {ids(x), ids(y), {}, "0"}
    repeat with m from length of b to 1 by -1
        set multiplier to (item m of b) - 48
        if multiplier is not 0 and x is not "0" then
            set carry to 0
            repeat with i from length of a to 1 by -1
                set product to carry + ((item i of a) - 48) * multiplier
                set carry to product div 10
                set beginning of c to product mod 10 + 48
            end repeat
            if carry > 0 then set beginning of c to carry + 48
            set sum to add(sum, character id c)
        end if
        set end of c to 48
        set c to items (m - (length of b) - 1) thru end of c
    end repeat
    return sum
 end multiply

 set x to 1
 repeat with y from 1 to 125
    set x to multiply(x, y)
 end repeat