En obligar vamos a empezar con un modelo de ZFC, por supuesto, no podemos demostrar (de ZFC) que existe un modelo, pero sería muy extraño para asumir la teoría con los que queremos trabajar es inconsistente.
Así que tenemos una clase, $V$ y una relación $E$ definido en $V$ que entendemos como $xEy$ a la media de $x\in y$. Ahora podemos utilizar todos los mecanismos de forzamiento.
Primero definimos $\mathbb P$-nombres, estos son definidos por la inducción de la siguiente manera:
- $V^\mathbb P_0 = \varnothing$,
- $V^\mathbb P_{\alpha+1} = \{\langle x,p\rangle\mid x\in V^\mathbb P_\alpha, p\in\mathbb P\}$
- Si $\beta$ es un ordinal límite, a continuación, $V^\mathbb P_\beta=\bigcup_{\alpha<\beta} V^\mathbb P_\alpha$
Más tarde, cuando hemos arreglado un filtro genérico $G$, mediante la identificación de las $p\in G$ como "verdadero" y $q\notin G$ como falsa, podemos interpretar los nombres reales de los conjuntos, y la verdad los valores del modelo resultante será dado por el conjunto que se interpreta muy bien.
Nos gustaría que si el modelo de terreno $V$ será una subclase de $V[G]$, y si va a ser canónicamente definido. Por suerte, esto es lo que la canónica $\mathbb P$-los nombres son para. Definimos aquellos que, de nuevo, por inducción
- $\check\varnothing=\varnothing$ (Me he tomado la notación de Jech aquí),
- $\check x = \{\langle\check y,0\rangle\mid y\in x\}$.
Esto nos dice que $0$ le de la fuerza que $y\in x$, donde como $0$ es el mínimo elemento de la obligando a poset, así que si $0$ de la fuerza de $y\in x$ cada condición se tiene a la fuerza que como bien.
Por último, si $\sigma$ $\mathbb P$- nombre, se define la interpretación de $\sigma$ $G$ como:
$$\sigma[G] = \{y[G] \mid \exists p\in G:\langle y,p\rangle\in\sigma\}$$
Este es exactamente significa que algunos de los $p\in G$ estaba obligando a que $\dot y\in\dot\sigma$, o el uso de la $\Vdash$ relación: $p\Vdash\dot y\in\dot\sigma$. Si el filtro genérico $G$ fue elegido, el resultado será que, efectivamente,$y\in\sigma$.
Ahora queremos comprobar que los nombres canónicos se interpretan exactamente como el original de los elementos de $V$. Para esto sólo tenemos que verificar que, efectivamente, $G$ interpreta $\check x$ $x$ nuevo.
$$\check x[G] = \{\check y[G]\mid \langle \check y,0\rangle\in\check x\}$$
Inductivo suponga que cada rango por debajo del rango de $\check x$ fue interpretada correctamente, a continuación, $\check x[G] = \{y[G]\mid y\in x\} = \{y\mid y\in x\}$ como quería.
Nota: Desde $G$ es un filtro genérico, cada dos elementos son compatibles. Es decir, si $p\Vdash\varphi$ $q\in G$ $q$ no puede obligar a $\lnot\varphi$ (no puede decidir, pero no la fuerza de la negación). Desde $0\in G$ por cada $G$, tenemos que si $0\Vdash\varphi$ a continuación, para cada $p\in G: p\Vdash\varphi$.
