Mostrar $\sum_\limits{k=1}^{\infty}1/k$ no converge.

Question

Mostrar $$\sum_\limits{k=1}^\infty \frac 1 k$$ no converge.

---

Intento:

Dejemos que $s_n=\sum_\limits{k=1}^{n}1/k$ y que $\epsilon=1/2$ . Para todos los $N\in\mathbb{N}$ tenemos $$\left|s_{2n}-s_n\right|=\left|\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}\right|\geq1/2,\qquad\text{for all $ n\geq N $}$$ Por lo tanto, $\{s_n\}_{n=1}^{\infty}$ no es una sucesión de Cauchy.

Desde $\{s_n\}_{k=1}^{\infty}$ no es una secuencia de Cauchy, lo que implica que $\{s_n\}$ no converge, tenemos $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}s_n=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}=\infty$$ Por lo tanto, la serie infinita $\sum_\limits{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}$ no converge.

---

No estoy seguro de que esto sea válido o no porque uso la contradicción para hacer este tipo de problemas.

Answer 1

Tu prueba está bien, sólo necesita una pequeña corrección: ya que la secuencia $\{s_n\}_{n\geq 1}$ $\color{red}{\text{is increasing}}$ y no es una sucesión de Cauchy por la desigualdad mostrada, $\lim_{n\to +\infty}s_n = +\infty$ .

Se necesita la parte roja, ya que una secuencia que no es una secuencia de Cauchy puede ser también una secuencia oscilante, como en el caso $a_n = \sin(n)$ o $a_n = 2+\cos(n)$ .

El Prueba de condensación de Cauchy es la forma habitual de demostrar que la serie armónica es divergente, pero hay muchas alternativas. Por ejemplo, dado que $f(x)=\frac{1}{x}$ es una función convexa sobre $\mathbb{R}^+$ El Desigualdad de Hermite-Hadamard da:

$$ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{n}\right)+\left(\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n-1}\right)\geq \int_{1}^{n}\frac{dx}{x}$$ de lo que se deduce que: $$ H_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} \geq \log(n)+\frac{1}{2}. $$

Answer 2

Puede utilizar la prueba de comparación integral $$ \int_1^{+\infty}\frac1 x\,dx=\lim_{R\to+\infty}\log R=+\infty $$ o la Crítica de Condensación de Cauchy también: $$ \sum_{n=1}^{+\infty}a_n<+\infty\; \Longleftrightarrow\;\sum_{n=1}^{+\infty}2^na_{2^n}<+\infty $$ donde $a_n=1/n$ por lo tanto $$ \sum_{n=1}^{+\infty}2^na_{2^n}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2^n}{2^n}=+\infty. $$

Answer 3

Si converge a algún $L$ habría algún número entero positivo $k$ tal que $\log(k)>L$ porque el $\log(k)$ es ilimitada.

Sin embargo, la fórmula de Lehmer para el logaritmo de los enteros positivos $$\log(k)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{k-1}+\frac{1-k}{k}+\frac{1}{k+1}+...+\frac{1}{2k-1}+\frac{1-k}{2k}+...$$ (véase la página 136 de http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa27/aa27121.pdf )

muestra que es necesario restar una versión reducida de la serie armónica de sí misma para formar el logaritmo de un número entero positivo. Véase esta respuesta para ejemplos numéricos.

Pero nunca estás restando nada a tu serie armónica, por lo que no hay $\log(k)$ tal que $\log(k)>L$ y no $L$ al que converge la serie.