He encontrado en alguna parte que $T(S^n)$ es una variedad algebraica en $\mathbb{C}^{n+1}$ . Pero ahora no puedo recordar la forma explícita de esta variedad y la fuente de esta información. Será de gran ayuda si alguien me aclara este hecho.
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Tenemos $$S^n = \{ (x_0, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^{n+1} : x_0^2 + \cdots + x_n^2 = 1 \}$$ y por lo tanto $$T(S^n) = \{ (x_0, \ldots, x_n, v_0, \ldots, v_n) \in \mathbb{R}^{2 n + 2} : x_0^2 + \cdots + x_n^2 = 1, x_0 v_0 + \cdots + x_n v_n = 0 \}$$ porque el vector normal (hacia afuera) a la esfera en $(x_0, \ldots, x_n)$ es sólo $(x_0, \ldots, x_n)$ en sí mismo. Poniendo $$y_k = x_k \sqrt{1 + v_0^2 + \cdots + v_n^2}$$ encontramos que podemos reescribir las dos ecuaciones como una sola ecuación compleja, a saber $$(y_0 + i v_0)^2 + \cdots + (y_n + i v_n)^2 = 1$$ y por lo tanto $T(S^n)$ es difeomorfa a la variedad afín compleja $$\{ (z_0, \ldots, z_n) \in \mathbb{C}^{n+1} : z_0^2 + \cdots + z_n^2 = 1 \}$$ y, por lo tanto, tiene la estructura de un colector complejo.
Tomas Dabasinskas
Puntos
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Para $n=1$ esto funciona porque el complemento de un punto en $\mathbb C$ es homeomorfo a $S^1\times\mathbb R$ y el haz tangente del círculo es trivial. Pero ya para $n=2$ esto parece problemático porque el complemento de un $\mathbb R$ en $\mathbb {C}^2$ es homeomorfo al haz trivial $S^2\times \mathbb{R}^2$ mientras que el haz tangente de $S^2$ no es trivial.
