implica de $X+Y\in L^1$ $X \in L^1$ dado $X$ y $Y$ son variables aleatorias independientes

Question

Este problema puede ser encontrada aquí, que es un previo examen preliminar problema de UT Austin.

Deje $X$ $Y$ ser de dos variables aleatorias independientes con $X+Y \in L^1$. Mostrar que $X\in L^1$.

En general, en el análisis real, $f+g\in L^1$ no implica $f\in L^1$, me imagino que esto debe tener algo que ver con su independencia.

Supongo que podría ser algo como $EX=E(X+Y|Y=y)-y$, pero no estoy seguro de si puedo escribir así, sin saber a $X\in L^1$ o $Y\in L^1$ primera.

O, se debe probar de otra manera?

Podría usted por favor ayuda? Gracias.

Answer 1

Recordar que $X$ y $Y$ son independientes si y sólo si el % de medida conjunta $P_{X,Y}$es el medida producto del $P_X \otimes P_Y$. La instrucción $X + Y \in L^1$ implica que nos podemos aplicar el teorema de Fubini para el integrando $$\int |X + Y |dP_{X,Y} = \int |X + Y| dP_X \otimes dP_Y = \int \int |X + Y| dP_X dP_Y$$ to find that for almost every $Y $ slice of $X # + Y $ we have that $ | X + y | $ is in $L ^ 1 $, and it is not hard to see that this implies that $X $ itself is in $L ^ 1$.