Considere $ \mathbb {P}_ \mathbb {R}^2$ es decir, el $ \mathbb {R}$ -plano de proyección. Tengo dos preguntas.
Mi primera pregunta es, ¿qué es una descripción explícita del isomorfismo entre $H_*^{ \text {cellular}}( \mathbb {P}_ \mathbb {R}^2)$ y $H_*^{ \text {simplicial}}( \mathbb {P}_ \mathbb {R}^2)$ ?
Mi segunda pregunta es, ¿qué es una descripción explícita del mapa de abelianización de $ \pi_1 ( \mathbb {P}_ \mathbb {R}^2)$ a $H_1( \mathbb {P}_ \mathbb {R}^2)$ ?
¡Gracias por su tiempo!
En general, si quieres el mapa de la homología celular a la homología singular, sólo tienes que notar que si tienes una clase de homología representada por una celda, entonces el cierre de esa celda puede ser considerado como un simplex singular, así que envía la celda a sí misma.
Si quieres hablar de la homología simplicial aquí, probablemente la forma más fácil de pensar en las cosas es mostrar que tanto la homología celular como la simplicial son isomorfas a la homología singular. De esta forma no tienes que preocuparte de comparar la estructura simplicial que has elegido con la estructura celular que has elegido. Y la situación anterior funciona para ambos casos.
Como el grupo fundamental del plano proyectivo ya es abeliano, el mapa de abelianización es la identidad.
Hola @DanielMcLaury, ¡gracias por la respuesta! Conozco tus observaciones sobre la homología en general, pero me interesa una descripción muy explícita en el caso de $\mathbb{P}_\mathbb{R}^2$ del isomorfismo entre la homología celular y la simplicial aquí.
Bueno, por supuesto eso depende de decir explícitamente que de las infinitas estructuras celulares y simpliciales posibles que ha elegido para dotar $\mathbb{P}^2$ con. Por ejemplo, se puede tomar que ambos sean iguales, en cuyo caso el mapa sobre la homología es simplemente inducido por el mapa de identidad sobre las cadenas.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
