Más simple zeta ceros

Question

Es cierto que

$$\lim_{y\rightarrow\infty}\dfrac{\sum_{n=1}^{y}n^{-1/2-iy}}{\zeta(1/2+iy)}=1$$

? Below is a plot of $$\sum_{n=1}^{y}\dfrac{1}{n^{s}}\text{for }s=\dfrac{1}{2}+iy$$

set against its smooth analytic continuation. Is this less expensive computationally for large $y$?

Notes

x = 1/2; Plot[{Re[\!\( \*SubsuperscriptBox[\(\[Sum]\), \(n = 1\), \(y\)] 
\*FractionBox[\(1\), SuperscriptBox[\(n\), \(x + I\ y\)]]\)], 
Re[Zeta[x + I y]], Im[\!\( \*SubsuperscriptBox[\(\[Sum]\), \(n = 1\), \(y\)] 
\*FractionBox[\(1\), SuperscriptBox[\(n\), \(x + I\ y\)]]\)], 
Im[Zeta[x + I y]]}, {y, 0, 30}] 

Included with subsuperscript boxes for ease of reading when pasted into Mathematica.

Update

To address Mercio's point:

The plot of the quotients (as posed in the original question) is very messy (includes grid-line at $1$), and clearly doesn't "tend to $1$" en el estricto sentido de la palabra. Tal vez si los ceros de cada función se exceptúan, tendría más sentido. Sugerencias de re-expresiones de la cuestión son bienvenidos!

Actualización 2

La pregunta ahora se reformula - mejoras sugeridas por Raymond Manzoni:

Es cierto que $$\lim_{y\rightarrow\infty}\zeta(\dfrac{1}{2}+iy)+\dfrac {1} {2}\dfrac {1} {[s/\pi]^{1/2 + iy}} - \sum_ {n = 1}^{[s/ \pi]}\dfrac {1} {n^{1/2 + iy}}=0?$$

que Juan M tiene más o menos respondidas a continuación.

Answer 1

Como complemento a Juan M de la prueba (+1) voy a añadir un poco de 'visual aclaraciones' (sea lo que esto puede significar...), sobre el comportamiento de la suma finita de $\zeta\;$ para un grande, pero fijo de coordenadas $y\in\mathbb{R}^+$ : $$\tag{1}S_y(N)=\sum_{k=1}^N\frac 1{k^{1/2+iy}}$$ Supongamos que $y$ es la primera coordenada de un trivial cero más grande que la de $10000$ y representan todas las sumas parciales $\,S_y(N)$ $\;N=1\cdots 3183=[y/\pi]\;$ en el plano complejo :

La cruz en el centro está en el origen ( $z=0$ ), mientras que 1 representa el $z=S_y(1)=1$ y 2 $\;S_y(2)=1+\dfrac {2^{-iy}}{\sqrt{2}}$ y así sucesivamente hasta 3183 representación de $\;S_y(3183)$ muy cerca de a $0$ nuevo. $$-$$ La imagen muestra las cifras aspecto de Cornu (o de Euler) espirales. Vamos a justificar esto :
la suma de $S_y(N)$ se obtiene por la adición de $\,\displaystyle \frac 1{k^{1/2+iy}}=\frac {e^{-iy\log(k)}}{\sqrt{k}}\,$ términos.
El próximo mandato será así de $\,\displaystyle \frac {e^{-iy\log(k+1)}}{\sqrt{k+1}}$.
Ahora para $k\gg 1$ el denominador sólo se modifican ligeramente, mientras que el cambio de fase del numerador se $\;\delta=-y\;(\log(k+1)-\log(k))=-y\,\log(1+1/k)\approx -\dfrac yk$.

$\delta\approx -\dfrac {y}k$ da un papel especial a los valores de $k$ tal que $\dfrac yk\approx f\pi$ $f$ entero :

• para $f=2m$ ( $k=\left[ \frac y{2m\pi}\right]$ ) tenemos a $\,\delta\approx -2m\pi\,$ : para los valores de $k$ cerca de $\left[ \frac y{2m\pi}\right]$ los términos tienen casi la misma fase y su adición casi se van a dar una línea recta (ver f=2, f=4, y así sucesivamente en la imagen)
• para $f=2m+1$ ( $k=\left[ \frac y{(2m+1)\pi}\right]$ ) tenemos a $\,\delta\approx -(2m+1)\pi\,$ : para los valores de $k$ cerca de $\left[ \frac y{(2m+1)\pi}\right]$ dos términos consecutivos casi se cancelan uno al otro y eso es lo que está sucediendo en el medio de la 'nodos' f=1, f=3, f=5 y así sucesivamente.

Vamos a acercar el centro del nodo final de $f=1$ :

La línea de casi cruzando el origen se obtiene con el término $k=3183=\left[ y/\pi\right]$ mientras que la línea a la izquierda y a la derecha vino de $k=3182$ $k=3181$ respectivamente. El valor de $S_y(3183)$ sí está lejos de la imagen (es decir $12$ o más veces mayor), mientras que $S_y(3182)$ es mucho, en la parte inferior en el otro lado. Tomando la media de estos dos valores deben traer con nosotros, no demasiado lejos de nuestro objetivo, incluso si las diferentes sumas parciales $S_y(N)$ realmente no 'ir abajo a $0$' ! (sólo vuelta)
Todo esto explica (pero no demostrar) que una excelente aproximación para $\zeta$ puede ser obtenida (cerca de los ceros al menos) con la fórmula : $$\zeta\left(\frac 12+iy\right)\approx \sum_{n=1}^{[y/ \pi]}'\frac{1}{n^{1/2+iy}}=-\frac 1{2\,[y/\pi]^{1/2+iy}}+\sum_{n=1}^{[y/ \pi]}\frac{1}{n^{1/2+iy}}$$

(numéricamente el error absoluto aparece especializó por $\dfrac{4.5}{y^{3/2}}$ en el rango $(10,10000)$, y, probablemente, para valores más grandes, mientras que la suma de la pregunta se especializó por $\dfrac{0.9}{y^{1/2}}$)

Ahora, ¿qué pasa cuando $N>\dfrac y{\pi}$ ? Bien la diferencia de fase será menor de lo $\pi$ y vamos a girar redondo y redondo y obtener un número creciente de bola de lana negro :-) (ilustración para $N=10^7$)

Por supuesto, la historia no termina aquí y Riemann mismo que no se necesita calcular la suma de los $[y]$ términos y condiciones (o $\left[\frac y{\pi}\right]$ o $\left[\frac y{2\pi}\right]$ o lo que sea) pero que $\left[\sqrt{\frac y{2\pi}}\right]$ términos fueron suficientes, al menos si se acepta la corrección de los términos! (continuación aquí)
y los hechos básicos acerca de Riemann $\zeta$ y el de Euler fórmula de Maclaurin.

Como una alternativa divertida puede examinar con cuidado mi primera foto : observe que la distancia de f=1 f=3 es $1$, que la distancia entre f=3 f=5 $\dfrac 1{\sqrt{2}}$ y pensar 'Simetría'!

Answer 2

Por favor, me permite escribir lo que es verdadero:

Tenemos la estimación de la crítica de la tira ($s = \sigma + it$): $$\zeta(s) = \sum_{n < N} n^{-s} + \frac{N^{1-s}}{s-1} + O(N^{-\sigma}).$$ Por lo tanto, $$\zeta\left(\frac{1}{2}+it\right) = \sum_{n < t} \frac{1}{n^{\frac{1}{2}+it}} + O(t^{-1/2}).$$ Así $$\lim_{t \rightarrow \infty} \left | \zeta\left(\frac{1}{2}+it\right) - \sum_{n < t} \frac{1}{n^{\frac{1}{2}+it}} \right| = 0.$$

Usted también podría estar interesado en este reciente preprint.

AGREGA más ADELANTE (en el Daniel de la solicitud):

En primer lugar, suponemos que la $\sigma = \operatorname{Re}{z} > 1$, de modo que la suma de $\sum n^{-s}$ converge absolutamente. Podemos escribir la suma de $\sum_{n \geq N} n^{-s}$ en términos de una integral de Stieltjes, $$\sum_{n = N}^\infty \frac{1}{n^s} = N^{-s} + \int_N^\infty x^{-s} \;d(\lfloor x \rfloor),$$ donde $\lfloor x \rfloor$ es el mayor entero menor o igual a $x$. Ahora podemos integrar por partes para obtener $$\int_N^\infty x^{-s} \;d(\lfloor x \rfloor) = -N^{-s+1} + s \int_N^\infty x^{-s-1} \lfloor x \rfloor \; dx.$$ Deje $\{x\}$ denotar la parte fraccionaria de $x$, es decir,$\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$. Tenemos $$\zeta(s) = \sum_{n < N} n^{-s} + N^{-s} + \frac{N^{1-s}}{s-1} - s \int_N^\infty x^{-s-1} \{x\} \;dx.$$ Desde $\{x\} < 1$, la integral de la derecha, en realidad converge para todos los $\sigma = \operatorname{Re}(s) > 0$, es decir, se obtiene una continuación analítica de la de Riemann zeta función de$\sigma > 1$$\sigma > 0$. De hecho, para $\sigma>0$, podemos obligado integral, $$\left| \int_N^\infty x^{-s-1} \{x\} \;dx \right| < \frac{N^{-\sigma}}{\sigma}.$$

De todos modos, todo esto es material estándar disponibles en cualquier libro sobre la teoría analítica de números.