Si I es un ideal apropiado distinto de cero de un comutativo dominio integral, ¿es posible que su propia plaza?
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$\rm\:I^2\! = I\:\Rightarrow\: I = (0)\:$ o $\rm\:I = (1)\:$ en Noetherian dominios: $ $ ver ver aquí para una prueba simple de este
Teorema $\ $ Supongamos que $\rm\:I\:$ es un finitely generado idempotente ideal de un conmutativa anillo. A continuación, el ideal de $\rm\:I\:$ principal $\rm\:I = (e),\:$ $\rm\:e\:$ idempotente, es decir, $\rm\:e^2\! = e.$
Sin embargo, en no Noetherian dominios no puede existir trivial idempotente ideales. Por ejemplo, considere el ideal $\rm\: I = (2^{1/2},2^{1/4},2^{1/8},\ldots)\:$ en el ring $\rm\,R\,$de todos los enteros algebraicos. Tenga en cuenta que $\rm\: I = (t_i) = (t_{i+1}^2) \subseteq I^2,\:$ $\rm\:I^2\! = I,\:$ desde el reverso $\rm\:I\supseteq I\ \!R \supseteq I^2$ siempre. $\rm\:I\ne (1)\:$ más $\rm\: r_n t_n + \cdots + r_1 t_1 = 1\:$ $\Rightarrow$ $\rm\:t_n\mid 1,\:$ la contradicción, por $\rm\:t_n\!\mid t_{n-1}\!\mid\cdots \mid t_1\,$$\rm\: t_{i+1}\!\mid t_i\! = t_{i+1}^2$.
Véase también J. T. Arnold y R. Gilmer, Idempotente ideales y los sindicatos de redes en Prufer dominios.
Matt Dawdy
Puntos
5479
$D$ Sea la bajoálgebra $k(x, y)$ generado por la secuencia de funciones racionales
$$x_1 = x$$ $$x_2 = y$$ $$x_n = \frac{x_{n-2}}{x_{n-1}}$$
y $I = (x_1, x_2, x_3, ...)$. Por construcción, $x_n = x_{n+1} x_{n+2}$, por lo que cada elemento de $I$ es un elemento de $I^2$ y $D$ es un subanillo de un campo, por lo tanto un dominio integral. $I$ es apropiada desde $D/I \cong k$ y es distinto de cero puesto que consiste en elementos de distinto de cero de un campo.
