Un anillo local noetheriano teniendo un primer principal una altura es un dominio

Question

$A$ es un anillo comutativo con $1$. Si $A$ es un anillo noetheriano y locales y $A$ tiene un principal prime ideal de altura $1$ muestran entonces que $A$ es un dominio.

Alguien puede dar alguna pista. He intentado Mostrar $(0)$ es un primer ideal en $A$ pero no podía.

Answer 1

Sea $\mathfrak p=(p)$ un primer principal de altura uno. Entonces hay un % alto $\mathfrak q\subsetneq\mathfrak p$. Si $\mathfrak q=(0)$ haya terminado. De lo contrario, que $a\in\mathfrak q$, $a\ne 0$. Entonces $a=pa_1$ y desde $p\notin\mathfrak q$ sigue que $a_1\in\mathfrak q$, que $a_1=pa_2$, y así sucesivamente. Así $a\in\bigcap_{n\ge0}\mathfrak p^n\subseteq\bigcap_{n\ge0}\mathfrak m^n=(0)$, una contradicción. (Aquí $\mathfrak m$ denota el ideal maximal).