Pruebalo $\sqrt{3} \notin \mathbb{Q}[\sqrt 2,\sqrt[3]{2},\dots,\sqrt[n]{2},\dots]$

Question

Estoy estudiando el capítulo 7.2 extensiones Algebraicas en Álgebra Abstracta por S. Lovett, y estoy atascado con un ejercicio problema.

Deje $S = \{ \sqrt[n]{2} : n \in \mathbb{Z}$$n \geq 2 \}$. Demostrar que $\sqrt{3} \notin \mathbb{Q}[S]$.

Aquí está mi argumento.

Supongamos que $\sqrt{3} \in \mathbb{Q}[S]$.

Desde $\mathbb{Q}[S] = \cup \mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$, existe un $n$ tal que $\sqrt{3} \in \mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$.

Si $n$ es impar, $[\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]:\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]:\mathbb{Q}[\sqrt{3}]][\mathbb{Q}[\sqrt{3}]:\mathbb{Q}]$$[\mathbb{Q}[\sqrt{3}]:\mathbb{Q}]=2$, por lo que tenemos una contradicción.

Ahora estoy atascado en demostrando $\sqrt{3} \notin \mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$ $n$ incluso.

Agradezco cualquier ayuda en esta parte o la sugerencia de otro enfoque sobre todo el problema.

Answer 1

Si usted puede mostrar la instrucción $n$ una potencia de $2$, se puede argumentar con grados de todos los otros $n$. Prueba por inducción obras aquí. Que $\beta_k = \sqrt[2^k]{2}$. Supongamos que $\sqrt{3} \not\in \mathbb{Q}(\beta_k)$ donde $k \leq m$. Ahora Supongamos que $\sqrt{3} \in \mathbb{Q}(\beta_{m+1})$. Luego existen $a_0,a_1 \in \mathbb{Q}(\beta_m)$ $$\sqrt{3} = a_0 + a_1\beta_{m+1}.$ $ cuadrado ambos lados y tratar de obtener una contradicción.