Comprender los exponentes imaginarios

Question

¡Saludos!

Estoy tratando de entender qué significa tener un número imaginario en un exponente. ¿Qué significa $x^{i}$ donde $x$ ¿es un medio real?

He leído un algunos páginas sobre esta cuestión, y todas parecen reducirse a lo mismo:

1. Cualquier número real $x$ puede escribirse como $e^{\ln{x}}$ (parece bastante obvio.)
2. Mumble mumble mumble
3. Esto equivale a $e^{\cos{x} + i\sin{x}}$

Está claro que me falta algo en el paso 2. Entiendo (al menos creo que lo hago) cómo el número complejo $\cos{x} + i\sin{x}$ mapea a un punto del círculo unitario en un plano complejo.

Lo que me falta, supongo, es saber cómo se relaciona este punto con el logaritmo natural de $x$ . Además, no entiendo qué es la exponenciación compleja es . Puedo entender la exponenciación de números enteros como una simple multiplicación repetida, y puedo entender otras cosas (como los exponentes fraccionarios o negativos) por analogía con las operaciones que los deshacen. Pero ¿qué significa repetir algo $i$ ¿tiempo?

Answer 1

La cantidad $x^i$ está bien definido si $x$ es un positivo número real. Para valores negativos (o complejos) de $x$ La evaluación está abierta a múltiples interpretaciones.

Tienes lo siguiente. El logaritmo natural de los números reales positivos está bien definido, así que:

$x^i = \exp(i\cdot\ln(x))$

Tenga en cuenta que para los verdaderos $x > 0$ Todo lo que uno sabe sobre $\ln(x)$ es que es real. Puede ser positivo, negativo o nulo dependiendo de la comparación de $x$ a $1$ .

Ahora la función $\exp$ puede definirse mediante una serie de potencias que converge en cualquier lugar del plano complejo. Resulta que esa definición de la función exponencial implica lo siguiente cuando el argumento es puramente imaginario (como aquí):

$x^i = \exp(i\cdot\ln(x)) = \cos(\ln(x)) + i\cdot\sin(\ln(x))$

Para más información, véase:

[Fórmula de Euler -- Wikipedia]