Comprender los exponentes imaginarios

Question

¡Saludos!

Estoy tratando de entender qué significa tener un número imaginario en un exponente. ¿Qué significa $x^{i}$ donde $x$ ¿es un medio real?

He leído un algunos páginas sobre esta cuestión, y todas parecen reducirse a lo mismo:

1. Cualquier número real $x$ puede escribirse como $e^{\ln{x}}$ (parece bastante obvio.)
2. Mumble mumble mumble
3. Esto equivale a $e^{\cos{x} + i\sin{x}}$

Está claro que me falta algo en el paso 2. Entiendo (al menos creo que lo hago) cómo el número complejo $\cos{x} + i\sin{x}$ mapea a un punto del círculo unitario en un plano complejo.

Lo que me falta, supongo, es saber cómo se relaciona este punto con el logaritmo natural de $x$ . Además, no entiendo qué es la exponenciación compleja es . Puedo entender la exponenciación de números enteros como una simple multiplicación repetida, y puedo entender otras cosas (como los exponentes fraccionarios o negativos) por analogía con las operaciones que los deshacen. Pero ¿qué significa repetir algo $i$ ¿tiempo?

Answer 1

Considere un número real $A$ y llevarlo al poder $i$ . Si nuestro sistema de números complejos debe ser consistente, entonces $A^i$ debe ser un número complejo; en otras palabras, debe haber dos números reales $x$ y $y$ que dependen de $A$ tal que..:

$A^i=x+iy$

Además, podemos escribir $A^{-i}=x-iy$ para el mismo $x$ y $y$ . Por lo tanto:

$x^2+y^2=(x+iy)(x-iy)=A^iA^{-i}=A^{i-i}=A^0=1$

Hemos demostrado que para cualquier número real $A$ , $|A^i|=1$ y por lo tanto $A^i$ corresponde a un número complejo que se encuentra en algún ángulo $\theta$ a lo largo del círculo unitario.

Consideremos ahora las funciones seno y coseno para ángulos extremadamente pequeños $\epsilon$ . Un pequeño ángulo $\epsilon$ corta un trozo del círculo unitario, y la curvatura de la circunferencia sobre este pequeño ángulo es despreciable. Por lo tanto, podemos pensar en esta rebanada como un triángulo rectángulo con ángulo $\epsilon$ y la hipotenusa y los lados adyacentes son ambos de longitud uno ya que corresponden al radio del círculo unitario.

Utilizando la fórmula de la longitud de arco de un círculo, es fácil determinar que en el triángulo rectángulo formado por la aproximación del ángulo pequeño, la longitud del lado opuesto al ángulo $\epsilon$ es igual a $\epsilon$ . Podemos leer el $(x,y)$ coordenadas de este diagrama (que son $(cos(\epsilon),sin(\epsilon))$ ), por lo que concluimos que para ángulos muy pequeños $\epsilon$ :

$sin(\epsilon) \approx \epsilon \hspace{10mm} cos(\epsilon) \approx 1$

por lo tanto $cos(\epsilon) + isin(\epsilon) \approx 1+i\epsilon$ y, por tanto, para los números reales $A$ que están muy cerca de uno (por lo que $lnA$ es pequeño), el número complejo $A^i$ se encuentra aproximadamente en un ángulo $lnA$ a lo largo del círculo unitario, ya que $A^i=e^{ilnA}\approx 1+i(lnA)$ .

Answer 2

El exponencial complejo $e^z$ para los complejos $z=x+iy$ preserva la ley de los exponentes de la exponencial real y satisface $e^0=1$ .

Por definición

$$e^z=e^{x+iy}=e^xe^{iy}=e^x(\cos y+i\sin y)$$

que coincide con la función exponencial real cuando $y=0$ .

El logaritmo principal de $z=x+iy$ es el número complejo

$$w=\text{Log }z=\log |z|+i\arg z$$

para que $e^w=z$ , donde $\arg z$ (el principal argumento de $z$ ) es el número real en $-\pi\lt \arg z\le \pi$ con $x=|z|\cos (\arg z)$ y $y=|z|\sin (\arg z)$ .

La potencia compleja es

$$z^w=e^{w\text{ Log} z}.$$

En su ejemplo $z=x,w=i$ es por lo tanto $x^i=e^{i \text{ Log}x}$ .

Si $x>0$ , $\text{Log }x=\log x$ . Si $x<0$ , $\text{Log }x=\log |x|+i\pi$ .

Ejemplos:

$(-1)^i=e^{i\text{Log }(-1)}=e^{i(i\pi)}=e^{-\pi}$ .

$2^i=e^{i\text{Log }(2)}=e^{i\log 2}=\cos (\log 2)+i\sin (\log 2)$ .

$(-2)^i=e^{i\text{Log }(-2)}=e^{i(\log 2+i\pi)}=e^{i\log 2}e^{-\pi}=(\cos (\log 2)+i\sin (\log 2))e^{-\pi}.$

Answer 3

Digamos que quiere averiguar qué $x^{a + ib}$ es, entonces como usted mencionó, usted comienza escribiendo

$x^{a + ib} = e^{a \ln(x) + i b \ln(x)}$

Sin embargo, esto se puede dividir como

$ e^{a \ln(x) + i b \ln(x)} = e^{a \ln(x)} e^{i b \ln(x)} = x^a e^{i b \ln(x)} $

y luego se puede utilizar la fórmula de Euler para cuidar el exponente imaginario, de modo que

$x^{a + ib} = x^a \cos(b \ln(x)) + i x^a \sin(b \ln(x)) $

Sin embargo, esta fórmula no permite intuir lo que realmente ocurre. Has mencionado que puedes entender la exponenciación de enteros como una simple multiplicación repetida, pero no creo que esa sea la forma correcta de verla en el análisis complejo. Creo que es mucho mejor ver la exponenciación de forma geométrica.

Al exponer un número real por un valor complejo, encontramos que

$x^{a + ib} = x^a e^{i b \ln(x)} $

por lo que al exponer $x$ por $a + ib$ le da el punto en el plano con la magnitud $x^a$ y el ángulo $b \ln(x)$ .

Answer 4

Es una forma de extender tu función de variable real al dominio complejo de una forma "agradable" (léase agradable como holomorfa). Podrías preguntarte por qué necesitamos extender en primer lugar. La necesidad de la extensión viene del hecho de que una $n^{th}$ El polinomio de orden con coeficientes reales no necesita tener todas sus raíces como números reales. Así que se acaba teniendo estos números complejos. Una vez que nos encontramos con estos nuevos números, empezamos a preguntarnos por qué no intentar introducir estos números en funciones definidas sobre las variables reales. Pero entonces nos encontramos con que tenemos un billón de maneras de definir estas funciones para estos nuevos números complejos. Una forma "bonita" de extender estas funciones es hacer de forma que la función extendida sea holomorfa. Por eso se extiende $e^{i \theta}$ al plano complejo como $\cos(\theta) + i \sin(\theta)$ . Una vez hecha esta extensión, todo lo demás relacionado con los logaritmos y la exponenciación se deduce de forma lógicamente coherente. Por ejemplo, ahora podemos definir $x^i$ (decir $x>0$ o bien reescribir $x$ como $-y$ donde $y>0$ y escribir $-1$ como $e^{i \pi}$ ) como $(e^{\log (x)})^{i} = e^{i \log(x)} = \cos(\log(x)) + i \sin(\log(x))$

Así es como yo lo entiendo.

Answer 5

Primero piensa en lo que realmente estás haciendo con los exponentes.

Si eleva al cuadrado un valor, está diciendo que la salida es de dos restricciones idénticas. Como un triángulo rectángulo de 45 grados. La hipotenusa cambia en función de que ambos lados crezcan o se reduzcan exactamente igual. Eso no quiere decir que lo que está haciendo el cuadrado es un triángulo. Simplemente actúa así. Lo mismo con la cubicación de un valor. El resultado proviene de tres restricciones idénticas, como la forma en que un arco de superficie en una esfera cambia en base a tres radios que crecen o se reducen exactamente de la misma manera.

Los exponentes imaginarios son iguales. i, 2i, 3i son como 1, 2 ,3: identidad, cuadrado y cubo. Sólo necesitan toparse con otro exponente imaginario para manifestar su valor, o estás llevando un montón de cosas extra que no ves.

La razón por la que nos gusta e es porque su derivada es la misma que la salida de su función. Si pones 0, obtienes 1, y tu pendiente es 1. Ahora puedes empezar (real,imaginario) en (1,0), e ir suavemente a (0,1) sin meterte con las constantes.

Esto comenzó con Gauss, por cierto. Su profesor de escuela le pidió que sumara los valores de 0 a 100, y él vio que era un campo de 100, (100+0, 99+1, 98+2 ...)

Algunos ejemplos del mundo real:

Se puede cosechar un manzano recogiendo la manzana del tallo o cortando la rama. Si cortas la rama, cortarás las flores del manzano. Las flores de los manzanos son como un número imaginario, y podrías hacer una función imaginaria basada en el tiempo que separe las manzanas del mundo real de las manzanas imaginarias de las flores.

La corriente alterna funciona desconectando la potencia de la línea de forma intermitente para ahorrar energía. Todo lo que hacen es cambiar de terminal en el alternador, muy rápido, 60 veces por segundo, lo que significa que se suma mucho, con equipos fuera de fase que cuestan millones más en uso. Es como golpear un péndulo en la subida frente a la bajada. El valor real son los 110v a los que se activa tu circuito. El valor imaginario es si estás en la subida y en la bajada, y si obtienes un poco más, o si gastas dinero luchando contra la fase para cerrar el circuito en el cable neutro.

Las tensiones en las piezas de forma impar con cargas complejas, como una prótesis de cadera, pueden fluir con equilibrio, anulándose y no estresando la pieza. O pueden actuar en contra y acumular mucha tensión interna, que es como un número imaginario. Cargue en la dirección correcta, sin importar la magnitud, y toda esa tensión se libera, de modo que no está presionando sobre el metal, sino que un resorte se libera de usted arrastrándolo hacia abajo.