Serie de Dyson y T producto (II)

Question

Después de leer los posts anteriores relacionados con el Dyson serie, me he decidido a abrir un nuevo tema porque no es algo que yo todavía no estoy entendiendo. Se trata de la expresión:

$$ ∫_{t_0}^{t}dt^{'}∫_{t_0}^{t^{'}}dt^{"}\hat{T}[\hat{H}(t^{'})\hat{H}(t^{"})] = $$ $$ ∫_{t_0}^{t}dt^{'}∫_{t_0}^{t^{'}}dt^{"}\hat{H}(t^{'})\hat{H}(t^{"}) + ∫_{t_0}^{t}dt^{"}∫_{t_0}^{t^{'}}dt^{'}\hat{H}(t^{"})\hat{H}(t^{'}) $$

que se supone en muchos libros de texto. Me pregunto si puede ser derivada a partir de la definición de los ordenados en el Tiempo de operador:

$$ \hat{T}[ \hat{H}(t^{'}) \hat{H}(t^{"})]=θ(t^{'}−t^{"}) \hat{H}(t') \hat{H}(t^{"}) + θ(t^{"}−t^{'}) \hat{H}(t^{"}) \hat{H}(t^{'}) $$ y su extensión natural de los productos de las integrales: $$ \hat{T}∫_{t_0}^{t}dt^{'}∫_{t_0}^{t^{'}}dt^{"}\hat{H}(t^{'})\hat{H}(t^{"}) = ∫_{t_0}^{t}dt^{'}∫_{t_0}^{t^{'}}dt^{"}\hat{T}[\hat{H}(t^{'})\hat{H}(t^{"})] = $$ $$ = θ(t^{'}−t^{"}) ∫_{t_0}^{t}dt^{'}∫_{t_0}^{t^{'}}dt^{"}\hat{H}(t^{'})\hat{H}(t^{"}) + θ(t^{"}−t^{'}) ∫_{t_0}^{t}dt^{"}∫_{t_0}^{t^{'}}dt^{'}\hat{H}(t^{"})\hat{H}(t^{'}) $$

Si estoy en lo correcto, el paso a la función θ$(t)$ debe cancelar uno de los términos que conduce a: $$ ∫_{t_0}^{t}dt^{'}∫_{t_0}^{t^{'}}dt^{"}\hat{T}[\hat{H}(t^{'})\hat{H}(t^{"})] =∫_{t_0}^{t}dt^{'}∫_{t_0}^{t^{'}}dt^{"}\hat{H}(t^{'})\hat{H}(t^{"}) \qquad \text{si $t'>t^{''}$} $$ o: $$ ∫_{t_0}^{t}dt^{'}∫_{t_0}^{t^{'}}dt^{"}\hat{T}[\hat{H}(t^{'})\hat{H}(t^{"})] =∫_{t_0}^{t}dt^{"}∫_{t_0}^{t^{'}}dt^{'}\hat{H}(t^{"})\hat{H}(t^{'}) \qquad \text{si $t'< t^{''}$} $$ pero en cualquier caso se produce la combinación de ambos: $$ ∫_{t_0}^{t}dt^{'}∫_{t_0}^{t^{'}}dt^{"}\hat{H}(t^{'})\hat{H}(t^{"}) + ∫_{t_0}^{t}dt^{"}∫_{t_0}^{t^{'}}dt^{'}\hat{H}(t^{"})\hat{H}(t^{'}) $$

Lo que me estoy perdiendo?

Gracias de antemano

Answer 1

Creo que el problema radica en el mal integración límites. La historia va más o menos la siguiente. Nos gustaría evaluar las integrales tales como $$ \int_{t_0}^{t_1} dt' \int_{t_0}^{t'} dt'' H(t'') H(t').$$ El molesto característica de esta integral es que tenemos que mantener un seguimiento de la integración de los límites que garanticen $t''$ es siempre mayor que $t'$. Por el contrario, podemos reescribir esto como $${1 \over 2} \left( \int_{t_0}^{t_1} dt'' \int_{t_0}^{t_1} dt' H(t'') H(t') \Theta (t'' - t') + \int_{t_0}^{t_1} dt'' \int_{t_0}^{t_1} dt' H(t') H(t'') \Theta(t' - t'') \right) = $$ $$ = {1 \over 2} \int_{t_0}^{t_1} dt'' \int_{t_0}^{t_1} dt' T \left[ H(t'') H(t') \right]$$ debido a que ambos términos son iguales. Esta forma es mucho más amigable desde la integración de los límites de ambas integrales son ahora los mismos.

En general uno tiene que $$\int_{t_0}^{t_f} dt_{n-1}' \cdots \int_{t_0}^{t_0'} dt_0' H(t_{n-1}') \cdots H(t_{0}') = {1 \over n!} \int_{t_0}^{t_f} dt_{n-1}' \cdots \int_{t_0}^{t_f} dt_0' T \left[ H(t_{n-1}') \cdots H(t_{0}') \right] $$ y, finalmente, $$ T \left[ \exp \left( \int_{t_0}^{t_f} dt H(t') \right) \right] = \sum_{n=0}^{\infty} {1 \over n!} \int_{t_0}^{t_f} dt_{n-1}' \cdots \int_{t_0}^{t_f} dt_0' T \left[ H(t_{n-1}') \cdots H(t_{0}') \right]$$ que es (hasta constantes) la expansión de una evolución operador en la mecánica cuántica, que puede ser derivado de la Dyson de la ecuación.