Homomorfismo entre dos anillos

Question

¿Es homomorfismo entre dos anillos de una relación simétrica? Es decir, supongamos que $\exists \phi:R\rightarrow R'$ un homomorfismo del anillo. Entonces ¿existe un homomorfismo del anillo de $R'$ $R$?

Answer 1

Esto va a depender en cierta medida de su definición de un anillo y un anillo homomorphism, ya que hay un par de maneras estándar de la definición de estos conceptos.

En primer lugar, para los anillos, a veces hay una distinción entre un anillo y un unital anillo, que, además, tiene una identidad multiplicativa $1$ (mientras que un anillo no tiene que haber uno).

En segundo lugar, y lo que es más importante, incluso cuando el anillo es unital anillo, a veces hay una distinción entre un anillo de homomorphism (que simplemente se conserva la suma y la multiplicación) y un unital anillo homomorphism (que mucho además de preservar la identidad multiplicativa).

Si un anillo homomorphism no necesita preservar la multiplicación de las identidades (suponiendo que estos están presentes en nuestros anillos), y luego entre los dos anillos de $R,S$ no es el cero mapa de $\mathbf{0}: R \to S$ definido por $\mathbf{0}(r) = 0$.

Como tal, si el anillo homomorphisms no necesita ser unital, entonces usted va a tener siempre este tipo trivial homomorphisms. Tenga en cuenta que no trivial de la homomorphism entre unital anillos generalmente preservar $1$, por lo que si usted en vez quiera considerar "no trivial" o "unital" anillo homomorphisms, las respuestas dadas por Hurkyl o Señor Tiburón dar ejemplos de (unital) anillos que no admiten unital/no-trivial anillo homomorphisms en ambas direcciones.

Por ejemplo, el más evidente es el de la inclusión de $\mathbb{Z}$ a $\mathbb{Q}$ (y esto es una unital anillo homomorphism), pero no trivial de la homomorphism $\varphi: \mathbb{Q} \to \mathbb{Z}$ han $2\varphi(1/2) = \varphi(1)=1$, así que por lo tanto $\varphi(1/2)$ es un número entero que, cuando se multiplica por $2$, da $1$. Por supuesto, esto no puede suceder, así que tenemos una contradicción.

(He dicho anteriormente que no trivial de anillo homomorphism entre unital anillos generalmente preservar $1$. Un rápido y sencillo ejemplo de un no-trivial anillo homomorphism no preservar $1$ entre unital anillos está dado por la siguiente: Tome $\mathbb{F}_2 = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ y considerar la inclusión de $\mathbb{F}_2$ a $\mathbb{F}_2^2$ mediante el envío de $0\mapsto (0,0)$$1\mapsto (1,0)$. Ahora, $(1,0)$ no es la identidad multiplicativa de $\mathbb{F}^2$ $(1,1)$ es. Sin embargo, es una identidad multiplicativa de la imagen de la inclusión. En general, un anillo homomorphism envía una identidad multiplicativa a una identidad multiplicativa de la imagen. En muchos casos, especialmente los anillos que tienen algún tipo de multiplicativa de la cancelación de la propiedad, será suficiente para decir que realmente envía $1$$1$. Esta es la razón por la que yo era capaz de justificar el hecho de que $\varphi(1)=1$ por encima.

Para más información acerca de esta idea, ver aquí.)

Answer 2

Nº $\mathbb{Z} \to \mathbb{F}_2$ y $\mathbb{Z} \to \mathbb{Q}$ son contraejemplos.

Answer 3

Desde luego, no. Tomemos por ejemplo $\Bbb Z$ y $\Bbb Q$. O $\Bbb R$ y $\Bbb C$.

Answer 4

Si añadimos, a la pregunta, el razonable requisito que el homomorfismo h es distinto de cero, la respuesta es todavía no.

Considere por ejemplo $R=M_2 (\mathbb R) $, $R'=M_3 (\mathbb R) $. Hay muchos homomorphisms no trivial $R\to R'$: para cualquier % invertible $B $, $$A\longmapsto B\,\begin{bmatrix}A&0\\0&0\end{bmatrix}\,B^{-1}, $$ is a ring homomorphism. But there are no nonzero homomorphisms $R'\to R $.