Probar que $\alpha+\beta+\gamma \ge \alpha\frac{\sin \beta}{\sin \alpha}+\beta\frac{\sin \gamma}{\sin \beta}+\gamma\frac{\sin \alpha}{\sin \gamma}$

Question

Demuestra la desigualdad: $$\alpha+\beta+\gamma \ge \alpha\cdot\frac{\sin \beta}{\sin \alpha}+\beta\cdot\frac{\sin \gamma}{\sin \beta}+\gamma\cdot\frac{\sin \alpha}{\sin \gamma}$$ para cualquier tres números $\alpha, \beta, \gamma \in \left(0;\frac{\pi}2\right)$

Mi intento:

Planeo usar la desigualdad de reordenamiento. Pero no sé por dónde empezar.

Answer 1

Usando la desigualdad de Aristarco (ver aquí una demostración de la desigualdad de Aristarco) que establece que si $\alpha$ y $\beta$ son ángulos agudos (es decir, entre $0$ y $\pi/2$) y $\alpha<\beta$ entonces $\frac{\sin \beta}{ \sin \alpha}<\frac{\beta}{\alpha}<\frac{\tan \beta}{ \tan \alpha}$. Con $\alpha, \beta, \gamma \in \left(0,\frac{\pi}2\right)$ y $\alpha\le\beta\le\gamma$ tenemos: \begin{align*} (\alpha\le\beta)\quad&\quad\frac{\sin \beta}{ \sin \alpha}\le\frac{\beta}{\alpha}\quad \Rightarrow\quad\frac{\alpha}{\sin \alpha}\le\frac{\beta}{ \sin \beta}\\ (\alpha\le\gamma)\quad&\quad\frac{\sin \gamma}{ \sin \alpha}\le\frac{\gamma}{\alpha}\quad \Rightarrow\quad\frac{\alpha}{\sin \alpha}\le\frac{\gamma}{ \sin \gamma}\\ (\beta\le\gamma)\quad&\quad\frac{\sin \gamma}{\sin \beta}\le\frac{\gamma}{\beta}\quad \Rightarrow\quad\frac{\beta}{\sin \beta}\le\frac{\gamma}{ \sin \gamma} \end{align*} Por lo tanto, al combinar estas desigualdades: $$\frac{\alpha}{\sin \alpha}\le\frac{\beta}{ \sin \beta}\le\frac{\gamma}{ \sin \gamma}\tag{A}$$ También tenemos: $$0<\sin \alpha\le\sin \beta\le\sin \gamma<1\tag B$$

El Teorema de Reordenamiento establece: para cada elección de números reales $$ x_{1}\leq \dotsb \leq x_{n}\quad \text{y}\quad y_{1}\leq \dotsb \leq y_{n}$$ y cada permutación $$x_{\sigma (1)},\dotsc ,x_{\sigma (n)}$$ de $x_1,\dotsc, x_n$ tenemos: $$x_{n}y_{1}+\dotsb +x_{1}y_{n}\leq x_{\sigma (1)}y_{1}+\dotsb +x_{\sigma (n)}y_{n}\leq x_{1}y_{1}+\dotsb +x_{n}y_{n}$$ Ahora invocamos el Teorema de Reordenamiento en las desigualdades (A) y (B): \begin{align*} y_1&=\frac{\alpha}{\sin \alpha}, \quad\,\, y_2=\frac{\beta}{ \sin \beta}, \quad\,\, y_3=\frac{\gamma}{ \sin \gamma}\\ x_1&=\sin \alpha, \quad\ \,\,\, x_2=\sin \beta, \quad\ \,\,\, x_3=\sin \gamma\\ x_{\sigma (1)}&=\sin \beta, \quad x_{\sigma (2)}=\sin \gamma, \quad x_{\sigma (3)}=\sin \alpha \end{align*>

Entonces, expresado completamente esto es: $$x_{3}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{1}y_{3}\leq x_{\sigma (1)}y_{1}+x_{\sigma (2)}y_{2} +x_{\sigma (3)}y_{3}\leq x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}$$ \begin{align*}> &\quad\,\alpha\frac{\sin \gamma}{\sin \alpha}+\beta\frac{\sin \beta}{\sin \beta} +\gamma\frac{\sin \alpha}{\sin \gamma}\\ &\le\alpha\frac{\sin \beta}{\sin \alpha}+\beta\frac{\sin \gamma}{\sin \beta} +\gamma\frac{\sin \alpha}{\sin \gamma}\\ &\le\alpha\frac{\sin \alpha}{\sin \alpha}+\beta\frac{\sin \beta}{\sin \beta} +\gamma\frac{\sin \gamma}{\sin \gamma}=\alpha+\beta+\gamma \end{align*> Observación: para la desigualdad intermedia podríamos elegir una permutación diferente, por ejemplo $$x_{\sigma(1)}=\sin \gamma, \quad x_{\sigma(2)}=\sin \alpha, \quad x_{\sigma(3)}=\sin \beta$$ para obtener la desigualdad $$\alpha+\beta+\gamma\ge \alpha\frac{\sin \gamma}{\sin \alpha}+\beta\frac{\sin \alpha}{\sin \beta}+\gamma\frac{\sin \beta}{\sin \gamma}$$>

Answer 2

Sea $f(t) = \sin t - t \cos t, 0 \leq t \leq \pi/2.$

Tenemos que $f(0) = 0$ y $f'(t) = \cos t - \cos t + t \sin t = t \sin t \geq 0$ si $0 \leq t \leq \pi/2.$

Esto implica que $f(t) \geq 0$ para $0 \leq t \leq \pi/2.

Si $g(t) = \dfrac{t}{\sin t}$ entonces $g'(t) = \dfrac{f(t)}{\sin^2 t} \geq 0.$ Así que $\dfrac{t}{\sin t}$ aumenta en $(0,\dfrac{\pi}{2}).

Sea $ 0 < \alpha \leq \beta \leq \gamma < \pi/2$ entonces $ 0 < \dfrac{\alpha}{\sin \alpha} \leq \dfrac{\beta}{\sin \beta} \leq \dfrac{\gamma}{\sin \gamma}$ y $0 < \sin \alpha \leq \sin \beta \leq \sin \gamma.

Por la desigualdad de reordenamiento $ \dfrac{\alpha}{\sin \alpha} \sin \beta + \dfrac{\beta}{\sin \beta} \sin \gamma + \dfrac{\gamma}{\sin \gamma} \sin \alpha \leq \dfrac{\alpha}{\sin \alpha} \sin \alpha + \dfrac{\beta}{\sin \beta} \sin \beta + \dfrac{\gamma}{\sin \gamma} \sin \gamma = \alpha + \beta + \gamma.