Hasta donde yo sé, no hay una forma de demostrar este teorema, sin el uso de propiedades de compacidad. De hecho, la compacidad de dominio es necesario para que la expresión sea verdadera.
Así que, vamos a desarrollar esas propiedades relevantes aquí, en $\mathbb{R}$ en lugar de en espacios métricos. Esperemos que el trabajo a través de estas definiciones y ejercicios te ayudarán.
Definición: Un punto límite de un conjunto $S \subset \mathbb{R}$ es un punto de $p$ tal que, para cada $\epsilon>0$,$x\in S$$|p-x|<\epsilon$.
Definición: Un subconjunto $S\subset \mathbb{R}$ es abierto si, para todos los $x\in S$, hay algunos $\epsilon > 0$ tal que $(x-\epsilon, x+\epsilon) \subset S$.
Definición: Un subconjunto $S\subset \mathbb{R}$ es cerrado si contiene a todos los de su límite de puntos.
Ejercicio 1: Probar que un conjunto $A\subset \mathbb{R}$ es abierto si y sólo si $A^c$, su complemento, es cerrado.
Ejercicio 2:
a) Deje $\{A_n\}$ ser una secuencia de bloques abiertos. Demostrar $\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n$ es de por sí abierto.
b) Vamos a $\{A_n\}$ ser una secuencia de conjuntos cerrados. Demostrar $\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n$ es cerrado.
Ejercicio 3: Demostrar que $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es continua si y sólo si $f^{-1} (U)$ es abierto para cada subconjunto abierto $U \subset\mathbb{R}$. ¿Que te dice esto acerca de la $f^{-1} (V)$ para los conjuntos cerrados $V\subset\mathbb{R}$?
Definición: Una abierta cubriendo de un conjunto $S\subset \mathbb{R}$ es una colección de abrir conjuntos de $\{U_\alpha\}$ (contables o incontables), de tal manera que $S\subset \bigcup U_\alpha$. Un finito subcovering de $\{U_\alpha\}$ es algunos subcolección $\{U_1, \cdots, U_n\}$ $\{U_\alpha\}$ tal que $S \subset \bigcup_{i=1}^{n} U_i$.
Definición: Un conjunto $S \subset\mathbb{R}$ es compacto si cada abierto que cubre de $S$ contiene un número finito de subcovering de $S$.
Ejercicio 4: Deje $S\subset \mathbb{R}$ ser compacto. Probar que todo subconjunto infinito de $S$ tiene un punto límite.
Teorema (Heine-Borel): Un conjunto $S\subset\mathbb{R}$ es compacto si y sólo si es cerrado y acotado. Esto es difícil de demostrar, pero pensar acerca de por qué debe ser cierto.
La prueba de la Dini del Teorema:
Fix $\epsilon> 0$. Deje $g_n = f_n - f$ todos los $n$. Desde $\{f_n\}$ está disminuyendo, vemos a $g_{n+1} \le g_n$ todos los $n$, y también se $g_n \ge 0$ todos los $x\in [a,b]$. Además de la $g_n (x) \to 0$ $n\to\infty$ todos los $x\in [a,b]$ (por pointwise convergencia de la $\{f_n\}$).
Ahora, consideremos los conjuntos de ${g_n}^{-1} ([\epsilon, \infty))$. En primer lugar, compruebe que el $[\epsilon, \infty)$ es un conjunto cerrado. Por el Ejercicio 3, entonces tenemos que ${g_n}^{-1} ([\epsilon, \infty))$ también está cerrado, para todos los $n$. Por lo tanto, ${g_n}^{-1} ([\epsilon, \infty))$ es compacto para cada $n$ (żpor qué?). Por último, tenga en cuenta que $${g_{n+1}}^{-1}([\epsilon, \infty)) \subset {g_n}^{-1}([\epsilon,\infty))$$
La declaración de que el $\{f_n\}$ convergen uniformemente a $f$ es equivalente a la afirmación de que ${g_n}^{-1} ([\epsilon, \infty)) = \emptyset$ algunos $n$ (żpor qué?). Así que supongo que esto no es cierto. A continuación, para cada una de las $n$, podemos recoger $x_n \in {g_n}^{-1} ([\epsilon, \infty))$. Por el Ejercicio 4, la secuencia de $\{x_i\}$ tiene un convergentes subsequence $\{x_{i_k}\}$. Decir que $x_{i_k} \to x$$k\to\infty$. Debemos tener $x\in {g_n}^{-1} ([\epsilon, \infty))$ todos los $n$ (¿por qué? Use El Ejercicio 2). Por lo tanto, $g_n (x) \ge \epsilon$ todos los $n$. Esto contradice el hecho de que $g_n (x) \to 0$ pointwise.
Conclusión: El $\{f_n\}$ convergen uniformemente a $f$.
