Demostrar que $e^x>x(x+1)$

Question

Dejemos que $x>0$ demostrar que $$e^x>x(x+1)$$ o $$x>\ln{x}+\ln{(x+1)}$$

podemos utilizar a este Taylor algún primer cuatrimestre, $$e^x>1+x+\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{6}x^3$$ demuéstralo

Pero esta desigualdad parece muy bonita, ¿quizás existan métodos sencillos o una forma asombrosa?

Answer 1

Tenemos que demostrar $$e^x>1+x+\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{6}x^3\ge x^2+x$$ que es $$x^3+3x^2+6x+6\ge 6x^2+6x$$ que es $$x^3-3x^2+6=(x-2)^2(x+1)+2>0$$ lo cual es obvio para los positivos $x$ .

Answer 2

Sí. Deja que $$f(x)=e^x-x^2-x$$

Y $f(0)=1$

Ahora, $f^{'}(x)=e^x-(2x+1)$ y $f^{"}(x)=e^x-2$
Obtenemos mínimos locales en $x \in (1,2) $ donde $f(x)>0$ .

Ahora desde los mínimos, $f(x)>0$

Por lo tanto, podemos concluir $$e^x-(x^2+x)>0$$ $$e^x>(x^2+x)$$