Intuición geométrica de los valores propios de la matriz de Hesse

Question

Tengo una pregunta muy sencilla, que creo que habla más de mi falta de comprensión intuitiva de las piezas de álgebra lineal que cualquier cálculo relacionados.

Me han llegado a través de esta declaración (o variantes de la misma) en el contexto de las Morse Índice de un punto crítico en varias ocasiones:

Declaración: El número de negativos valores propios de la matriz Hessiana de una función de $F:M\to N$ a un punto de $p$ es igual a la dimensión de la máxima subespacio del espacio de la tangente $TM_p$ $M$ $p$ que $F$ es negativa definida.

Mi pregunta es:

Pregunta: ¿por Qué los autovalores de Hesse codificar esta información?

Como he dicho anteriormente, esta casi seguro que es el resultado de una falta de comodidad en el trato con los autovalores (más que nada diferencial) que he puesto fuera de confrontar demasiado tiempo en mi enseñanza de las matemáticas, pero no me queda claro cómo hacer el salto de la declaración.

Answer 1

Los comentarios a su pregunta cubrir bastante bien, pero la pieza clave que creo que usted puede ser que falta es que (suponiendo condiciones adecuadas en los derivados) la matriz Hessiana $H$ es simétrica.

En un punto crítico de $\mathbf P_0$, el de primer orden derivados de desaparecer, por lo que tenemos la expansión de Taylor $$F(\mathbf P_0+\mathbf v)=F(\mathbf P_0)+\frac12\mathbf v^TH\mathbf v+O(\|\mathbf v\|^3),$$ that is, the behavior of $F$ near $\mathbf P_0$ depends largely on the quadratic form $Q(\mathbf v)=\mathbf v^TH\mathbf v$. If this form is positive-definite, $F$ increases in every direction, i.e., it has a local minimum at $\mathbf P_0$; if it's negative-definite, it decreases in every direction-a maximum; if neither, then it increases in some directions and decreases in others. This is where the Morse Index and Sylvester's Law of Inertia come in. One can find an orthogonal basis of eigenvectors of $H$ in which $Q(\mathbf v)=\sum\lambda_ix_i'^2$, where the $\lambda_i$ are the corresponding eigenvalues. The overall shape of the quadric surface $Q(\mathbf v)=0$ is entirely determined by the signs of these eigenvalues: where positive, $P$ increases in that direction, where negative, $P$ disminuye.

Un subespacio generado por los vectores propios negativos autovalores es claramente uno en el que $Q$ es negativo-definitivo-solo estamos incluyendo las direcciones en las que se disminuye-y si usted toma todos los vectores propios, obtendrá un máximo de subespacio con esta propiedad.

Answer 2

Consideramos que una suave colector $M$ de la dimensión de $d$ $C^{\infty}$ función de $f:M\rightarrow \mathbb{R}$$p\in M$. Dos gráficos en un barrio de la $Z$ de $p$: $\phi:U\subset \mathbb{R}^d\rightarrow Z,\phi(u)=p,\psi:V\subset \mathbb{R}^d\rightarrow Z,\psi(v)=p$ s son.t. la transición mapa de $\tau=\phi^{-1}\circ \psi$ es un diffeomorphism. Tenga en cuenta que $f$ es suave iff $g=f\circ \phi$ o $g\circ\tau$ son lisas. La observación de que $D(g\circ\tau)_v=Dg_u\circ D\tau_v$ $Dg_u=0$ es equivalente a $D(g\circ \tau)_v=0$; en el caso anterior, se dice que $p$ es un punto crítico de $f$.

Proposición 1. La firma de la Arpillera de $f$ puede ser definido en $p\in M$ al $p$ es un punto crítico de $f$.

Prueba. $D^2(g\circ\tau)_v(h,k)=D^2g_u(D\tau_v(h),D\tau_v(k))+Dg_u(D^2\tau_v(h,k))$. Desde $Dg_u=0$, $D^2(g\circ\tau)_v(h,k)=D^2g_u(D\tau_v(h),D\tau_v(k))$. Deje $K$ ser la matriz simétrica asociada a $D^2g_u$ $P$ ser invertible la matriz de la aplicación lineal isomorfismo $D\tau_v$; a continuación la matriz simétrica asociada a$D^2(g\circ\tau)_v$$P^TKP$. Claramente $K$ $P^TKP$ tienen la misma firma y ya está.

Tenga en cuenta que, en general, el estado de Hesse de $f$ depende del gráfico seleccionado!! En particular, sus valores varían de acuerdo con el gráfico seleccionado.

Según Morse teoría,

(*) Podemos elegir una transición mapa de $\tau$ s.t. $D\tau_v$ diagonalizes $K$, que es s.t. $P$ es ortogonal y $P^TKP=diag(\lambda_1\cdots,\lambda_q,\lambda_{q+1},\cdots,\lambda_d)$ donde $\lambda_i<0$ $i\leq q$ e lo contrario, $\lambda_i\geq 0$.

Recordemos que $D\tau_v$ es un isomorfismo entre dos representaciones de $TM_p$ y $D^2(g\circ\tau)_v$ es simétrica forma bilineal definida en una representación de $TM_p$.

EDIT. Puedo escribir los detalles de la segunda parte. Un elemento $h\in TM_p$ admite, como representante de una curva suave $\gamma$ s.t. $\gamma(0)=p$; modulo el gráfico $\phi$, $h$ se identifica con el único vector de $(\phi^{-1}\circ \gamma)'(0)\in\mathbb{R}^d$.

Proposición 2. La máxima dimensión de los subespacios del espacio de la tangente $TM_p$$M$$p$, en el que $D^2g_v$ es negativo definido, es $q$. Este resultado no depende del gráfico seleccionado.

Prueba. De acuerdo a (*), el máximo es de $\geq q$. Ahora, vamos a $E$ ser un subespacio de $TM_p$ de la dimensión de $r$ que $D^2g_v$ es negativa definida. Hay una transición mapa de $\tau$ asociado a la descomposición de $E\oplus E^{\perp}$; a continuación, $P^TKP$ es en la forma $diag(X_r,Y_{n-r})$ donde $X_r$ es simétrica $<0$. Tenga en cuenta que $X_r$ $r$ negativo autovalores y, en consecuencia, $r\leq q$.