Tratando de encontrar una suma explícita de una serie infinita:$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ (-1)^n }{(2n+1) 3^n }$

Question

Tengo la siguiente serie

ps

Estoy tratando de encontrar una suma explícita. Sé que esto se ve como$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n }{(2n+1)3^n}$. Yo hago lo siguiente

ps

Ya que $\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ (-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} $. Por lo tanto, la suma es$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ (-1)^n }{(2n+1) 3^n } = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ (-1)^n }{(2n+1) 3^n } - 1 =\sqrt{3} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ (-1)^n \sqrt{1/3}^{2n+1}}{(2n+1) } - 1$ $

¿Es esta una solución correcta? ¿Ustedes un método diferente?

Answer 1

Es correcto. De $$ \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ nx ^ {2 n +1}} {2 n +1} = - x + \ arctan x, \ quad | x |

Answer 2

Como $\log\dfrac{1+x}{1-x}=2\sum_{r=0}^\infty\dfrac{x^{2r+1}}{2r+1}$

ps

Ahora$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ (-1)^n }{(2n+1) 3^n }=\dfrac1{i/\sqrt3}\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(i/\sqrt3)^{2n+1}}{2n+1}$ $

Teniendo en cuenta los valores principales.

Answer 3

$\newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\,{#1}\,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\Li}[1]{\,\mathrm{Li}_{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} \color{#f00}{\sum_{n = 1}^{\infty}{\pars{-1}^{n} \over \pars{2n + 1}3^{n}}} & = \sum_{n = 1}^{\infty}\pars{-\,{1 \over 3}}^{n} \int_{0}^{1}x^{2n}\,\dd x = \int_{0}^{1}\sum_{n = 1}^{\infty}\pars{-\,{x^{2} \over 3}}^{n}\,\dd x = \int_{0}^{1}{-x^{2}/3 \over 1 - \pars{-x^{2}/3}}\,\dd x \\[5mm] & = -\pars{\int_{0}^{1}\,\dd x - \root{3}\int_{0}^{\root{3}/3}{\dd x \over x^{2} + 1}} = - 1 + \root{3}\arctan\pars{\root{3} \over 3} \\[5mm] & = \color{#f00}{{\root{3} \over 6}\,\pi - 1} \approx -0.0931 \end{align}